Una relación de equivalencia en las regiones del plano.

Question

Que $R\subseteq\mathbb{R}^2$. Considerar el conjunto de todas las "secciones horizontales" $H_R =$ {$Rb|b\in\mathbb{R}$}, donde $Rb=$ {$a\in\mathbb{R} | (a,b)\in R$}. Del mismo modo considerar el conjunto de las "secciones verticales" de $R$, $V_R =${$ aR|a\in\mathbb{R}$} donde $aR=$ {$ b\in\mathbb{R} | (a,b)\in R$}. Ahora definir la relación de equivalencia en $\wp (\mathbb{R^2})$ tal que $R \sim S$ si y sólo si, $H_R=H_S$ y $V_R=V_S$.

PREGUNTA: ¿Cuál es la clase de equivalencia de un disco?

Answer 1

Indicar con $\pi_1,\pi_2: \Bbb R^2 \to \Bbb R$ de las coordenadas de las proyecciones.

En primer lugar, permítanme hacer explícito lo que exactamente el escurridizo conjuntos de $H_R$ $V_R$ (desde que me tropecé en un escollo acerca de que antes).

Tenemos que $H_R = \{Rb: b \in \Bbb R\}$ donde $Rb = \{a \in \Bbb R: (a,b)\in\Bbb R\}$. En términos de las proyecciones, de esta forma, se $H_R = \{\pi_1[R \cap \pi_2^{-1}(b)]: b \in \Bbb R\}$. Podemos imaginar esta como los conjuntos vemos cuando el movimiento horizontal de la rendija sobre el conjunto de $R$.

Del mismo modo, $V_R = \{\pi_2[R \cap \pi_1^{-1}(a)]: a \in \Bbb R\}$, y puede ser imaginado como los subconjuntos de a $\Bbb R$ obtenido a partir de que se deslizan sobre el $R$ con una abertura vertical.

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Para encontrar la equivalencia de la clase, nos deja reducir a la totalidad caso genérico de la (cerrado) de la unidad de disco $B$.

A continuación, se observa que el $H_B = V_B = \{[-a,a]: a \in [0,1]\}$. La aparente simetría nos permite restringir la atención hacia el cuadrante superior derecho, ya que $R$ tendrá que ser ampliado en una forma única, por dicha simetría. Vamos más allá de la gota distinción entre el $R$ y la intersección de $R$ con el cuadrante superior derecho.

Las condiciones de $H_R = H_B$ $V_R = V_B$ implica que para cada una de las $r,s \in [0,1]$, no son exclusivos de $a, b$$\pi_1[R \cap \pi_2^{-1}(s)] = [0,a]$$\pi_2[R \cap\pi_1^{-1}(r)] = [0,b]$. Podemos definir asignaciones $i_H, i_V$$i_H(s) =a$$i_V(r)=b$.

Ahora supongamos que, para determinado $a$, nos encontramos con un $s \in [0,1]$ tal que $i_H(s) = a$. Si por alguna $s' > s$ tendríamos que $i_H(s') = a' > a$, $i_V(a')$ a ser un intervalo, necesitaríamos $(a',s) \in R$ desde $s \le s'$, contradiciendo ese $a' > a$$i_H(s)=a$.

Esta contradicción nos proporciona la información que $s \le s'$ implica $i_H(s) \supseteq i_H(s')$. Un razonamiento similar se puede aplicar para obtener ese $r \le r'$ implica $i_V(r) \supseteq i_V(r')$.

Ahora, ¿qué pasa cuando $s < s'$$i_H(s) = i_H(s')$? A continuación,$i_V(i_H(s)) = s'$, mientras que para $a' > i_H(s)$ tenemos necesariamente que $i_V(a') < s$; el análisis anterior por lo tanto hace que sea imposible que exista un $a''$ tal que $s < i_V(a'') < s'$, contradiciendo nuestras suposiciones.

Por lo tanto, $r \mapsto i_V(r)$ $s \mapsto i_H(s)$ son estrictamente decreciente surjections, y por el argumento anterior son también inyectiva; Una somera observación es que el $i_H(i_V(r))=r$ $i_V(i_H(s)) = s$ todos los $r,s$.

En conclusión, $B \sim R$ fib $R$ es el área debajo de una estrictamente decreciente bijection $f:[0,1]\to[0,1]$, que se refleja primero la horizontal, entonces la coordenada vertical.

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Análisis Real nos dice que en los intervalos, "estrictamente decreciente bijection" es sinónimo de "continuo de inyección de asignación de los extremos opuestos extremos". Por lo tanto esta respuesta coincide con Brian M. Scott comentario.