Describir los homomorphisms del anillo de $\mathbb{R}[T] \rightarrow \mathbb{R}[T]$

Question

Uno de los problemas en un conjunto de problemas que me fue dado como tarea en mi curso de Álgebra propone el siguiente problema:

Describir todos los anillos que homomorphisms $\mathbb{R}[T] \rightarrow \mathbb{R}[T]$. Que de ellos se isomorphisms?

Quisiera algunas sugerencias hacia la dirección correcta, no es la respuesta al problema.

Esto es lo que he conseguido hasta ahora:

Dado un anillo homomorphism $f:\mathbb{R}[T] \rightarrow \mathbb{R}[T]$:

Debido a un arbitrario polinomial $p(T) = a_{0} + a_{1}T + \ldots + a_nT^n$ tenemos que $f(p) = f(a_0) + f(a_1)f(T) + \ldots + f(a_n)f(T)^n$. Así que tenemos que $f$ está totalmente determinado por los valores que asume en $\mathbb{R}$$f(T)$.

Así que este problema pueden ser separadas en dos:

1. La clasificación de todos los homomorphisms de la forma $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[T]$
2. La clasificación de todos los posibles valores de $f(T)$

Con respecto a (1):

Conjetura El único anillo de homomorphism es $f(x)=x$ (ponemos como condición que f(1) = 1, en la definición que el profesor nos dio, por lo que descarta $f(x)=0$)

He demostrado por inducción que $f(n) = n, ~\forall n\in\mathbb{N}$,$f(m) = m, ~\forall m\in \mathbb{Z}$, $f(q) = q, ~\forall q\in \mathbb{Q}$ pero estoy teniendo problemas mostrando que $f(\alpha) = \alpha, ~\forall \alpha \in \mathbb{Q}'$ porque realmente no sé si $f(\alpha) \in \mathbb{R}$.

Si yo sabía que $f(\mathbb{R}) \subset \mathbb{R}$ entonces yo podría hacer algo como $f(\alpha) = f(\sqrt{\alpha})^2 > 0$ si $\alpha > 0$. Y esto me ayudaría a demostrar que $f(\beta) = \beta$ para todos los irrationals demasiado. El único problema es que, ¿qué pasa si digo, $f(\alpha) = T$. A continuación, $>$ no tendría ningún sentido.

Creo que he resuelto este problema, pero no estoy seguro, tal vez aquí es donde ustedes me puede ayudar un poco.

Si suponemos que $f(\alpha)$ es un polinomio con grado de $n$, entonces podemos calcular $f(\alpha^\frac{1}{n+1}) = f(\alpha)^\frac{1}{n+1}$ y que sería en $\mathbb{R}[T]$ sólo si el grado, $n$ $f(\alpha)$ se $0$ lo que demuestra que, efectivamente,$f(\alpha) \in \mathbb{R}$.

Es allí cualquier error o de una manera más fácil? O hay alguna útil comentario de que alguien quiera hacer que me pudiera ayudar. Gracias de antemano :)

Answer 1

El único homomorfismo en $\mathbb R$ que fija $1$, es el mapa de la identidad. Para la prueba se puede ver anillo homomorphisms $\mathbb R\to\mathbb R$.
Desde $f$ es un homomorfismo que fija $1$, imagen de todo inversible elementos en $\mathbb R[T]$ debe ser invertible, y debemos tener $f_{|\mathbb R}=Id_{\mathbb R}$.

$f$ totalmente determinado por la imagen de $T$ y así

$f(a_0+a_1T+...+a_nT)=a_0+a_1(p(T))+...+a_n(p(T))^n$ donde $p(T)=f(T)$.

$f$ Es isomorfismo iff $f(T)=aT+b$

Answer 2

(Grande) sugerencia: Mostrar que un homomorfismo del anillo (unital) de $\mathbb{R}[T]$ a cualquier otro anillo unital $A$ está totalmente determinado por la imagen de $T$.