Más corta y más elemental prueba de que el producto de una $n$-columna y una fila de $n$ tiene determinante $0$

Question

Deje $\bf u$ ser cualquier vector columna y $\bf v$ ser cualquier vector fila, cada uno con $n \geq 2$ arbitrarias entradas de un campo. Entonces es bien conocido que

${\bf u} {\bf v}$ $n \times n$ matriz tal que $\det({\bf uv})=0$.

Tengo curiosidad por saber el $\bf shortest$ $\bf most~elementary$ prueba de este resultado, dicen comprensible por una (buena) estudiante de la escuela secundaria. Yo tengo uno en mente, pero para realizar esta interesante, tal vez debería dejar de presentar su versión de la primera?

ACTUALIZACIÓN: Alguien ya presentado (por debajo) de la misma prueba que yo tenía en mente. Pero vamos a ver si hay una manera más simple prueba; la búsqueda de uno es la principal motivación.

Answer 1

Si $$u=(a,b)^T\text{ and }v=(c,d),$ $

Tomando el producto $u.v$ tenemos

$$ \begin{pmatrix} a\cdot c & a\cdot d \\ b\cdot c & b\cdot d \end{pmatrix}.$$

Pero esto demuestra que la primera y las segunda líneas son proporcionales:

$$a\cdot \begin{pmatrix} c & d \end{pmatrix}$$ $$b\cdot \begin{pmatrix} c & d \end{pmatrix}$$

Así $\det(u\cdot v)=0$.

En el caso general, $v$ representa las filas de la matriz de producto y $u$ la escala factores, por lo que todas las líneas son proporcionales y $\det(u\cdot v)=0$.

Answer 2

Aquí es un elemental de prueba que puede ser enseñado a los estudiantes de la escuela secundaria. Se vuelve $u$ $v$ a $n\times n$ matrices mediante la adición de cero filas y columnas: $$uv= \begin{bmatrix} u\mid 0 \end{bmatrix}_{n\times n} \begin{bmatrix} v\\ \hline 0 \end{bmatrix}_{n\times n} $$ Por lo tanto $\det(uv)=\det(AB)=\det(A)\det(B)=0$ donde $A$ $B$ están por encima de la $n\times n$ matrices obtenidas de$u$$v$.

PS La propiedad multiplicativa de la función determinante de las matrices cuadradas es sin duda la más fácil de propiedad de los determinantes que los estudiantes puedan recordar. Hace un año, he utilizado este truco en una presentación para los estudiantes con un conocimiento limitado de álgebra lineal para evitar la noción de rango de las matrices y creo que es servido a este propósito muy bien. Sin embargo, el único inconveniente es que se basa en un "hecho" que, generalmente, no está demostrado para los estudiantes de escuela secundaria, que es precisamente la propiedad multiplicativa de la determinante.

Answer 3

No estoy seguro de cuál es el promedio de "buen" estudiante de secundaria se entiende, pero de lo que he aprendido acerca de las matrices en la escuela secundaria esta es la prueba de que hubiera sido más sencillo para mí:

Deje que u=$[u_1, u_2, ... u_n]^T$ y v=$[v_1, v_2, ..., v_n]$. Entonces podemos escribir $$\mathrm{uv}= \begin{bmatrix} u_1v_1 & u_1v_2 & \cdots & u_1v_n\\ u_2v_1 & u_2v_2 & \cdots & u_2v_n\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ u_nv_1 & u_nv_2 & \cdots & u_nv_n \end{bmatrix}.$$ Ahora agregue $\frac{u_1}{u_2}$ veces la segunda fila a la primera fila. Esto no cambia el valor del determinante (esto es, donde un estudiante de secundaria puede perderse en función de lo bien que él o ella sabe la definición de determinante), y obtenemos

$$\det(\mathrm{uv})= \det\left(\begin{bmatrix} u_1v_1 & u_1v_2 & \cdots & u_1v_n\\ u_2v_1 & u_2v_2 & \cdots & u_2v_n\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ u_nv_1 & u_nv_2 & \cdots & u_nv_n \end{bmatrix}\right)=\det\left(\begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0\\ u_2v_1 & u_2v_2 & \cdots & u_2v_n\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ u_nv_1 & u_nv_2 & \cdots & u_nv_n \end{bmatrix}\right)$$ que es fácil de ver es igual a $0$.

Answer 4

Tomar cualquier vector distinto de cero $w$ ortogonal a $v$. Entonces tenemos

$$ (u\cdot v)\cdot w = u\cdot (v\cdot w) = u\cdot 0 = 0,$$

así $u\cdot v$ debe ser singular.

Answer 5

Esta pregunta se puede contestar fácilmente recordando propiedades determinantes. Específicamente: $det(A_1,A_2,\dots,cA_j,\dots,A_n)$ = $c$$(det(A_1,A_2,\dots,A_j,\dots,A_n))$

Por lo tanto si $u = \begin{bmatrix}u_1\\ u_2\\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix}$ y $v = \begin{bmatrix} v_1,& v_2,& \dots,& v_n\end{bmatrix}$

A continuación:

$uv$ = $\begin{pmatrix} u_1v_1 & u_1v_2 & \cdots & u_1v_2 \\ u_2v_1 & u_2v_2 & \cdots & u_2v_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ u_nv_1 & u_nv_2 & \cdots & u_nv_n \end{pmatrix} $

Entonces, por la propiedad mencionada, $det(uv)$ = $v_1v_2$$\cdots v_n$ $det$ $\begin{pmatrix} u_1 & u_1 & \cdots & u_1 \\ u_2 & u_2 & \cdots & u_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ u_n & u_n & \cdots & u_n \end{pmatrix} $

Claramente este determinante es cero, por lo tanto $det(uv)$ = $0$.