Grupo subgrupo del índice 2

Question

Estoy buscando grupo $G$ tal que $G$ tiene exactamente dos subgrupos de índice 2.

He buscado por espacio pero no pude encontrarlo.

Answer 1

Un grupo no existe. Supongamos que el grupo de $G$ tiene subgrupos $N \ne M$ de índice dos. Claramente ambos son normales, y $M N = G$. Entonces $$ \lvert G : M \cap N \rvert = \lvert G : M \rvert \cdot \lvert M : M \cap N \rvert = \lvert G : M \rvert \cdot \lvert M N : N \rvert = \lvert G : M \rvert \cdot \lvert G : N \rvert = 4. $$ Por lo $G / M \cap N$ es un grupo de orden $4$, que es isomorfo a la Klein cuatro grupos $V$ $a^{2} \in M \cap N$ por cada $a \in G$.

Desde $V$ tiene tres subgrupos de índice $2$, $G$ tiene al menos tres subgrupos, por el teorema de la correspondencia.

Answer 2

trabajo $G=S_3\times S_3$. Los subgrupos de índice dos es $\mathbb{Z}_3\times S_3$ y $S_3\times\mathbb{Z}_3$.

Edición: Última frase eliminado debido a un error señalado por Tobias Kildetoft.

Edit: $G$ no es un ejemplo de tal grupo como señala Andreas Caranti.