Determinación de una medida a través de una clase de medida de preservar las funciones

Question

Deje $\mu$ $\mu^\prime$ probabilidad de ser medidas con el sigma álgebra $\Sigma$ que consiste en la Lebesgue medibles subconjuntos de a $[0,1]$. Supongamos también que $\mu$ $\mu^\prime$ asignar medida $0$ a todos y sólo null conjuntos. (Notación: si $X$ es medible, vamos a $\mu_X$ denotar el normaliza medida a lo largo de subconjuntos medibles de $X$: $\mu_X(Y)=\mu(Y)/\mu(X)$ (y lo mismo para $\mu^\prime$).)

Ahora supongamos que tenemos una colección de funciones:

$$\{f_X:X\rightarrow \overline{X} \mid X\in \Sigma, 0<\lambda(X)<1\}$$

tal que para cada forma de particionamiento $[0,1]$ en dos conjuntos, $X$ y $\overline{X}$, $f_X$ conserva la medida, tanto entre los $\mu_X$ $\mu_{\overline{X}}$ y entre el$\mu^\prime_X$$\mu^\prime_{\overline{X}}$. (En otras palabras $\mu_X(f^{-1}(Y)) = \mu_{\overline{X}}(Y)$, y del mismo modo para $\mu^\prime$.)

De lo anterior se sigue que el $\mu=\mu^\prime$?

Answer 1

Supongo que todas las $f_X$ son bijections (de modo que el inverso es medible) - o, al menos, tengo la necesidad de conjuntos de $f_X^{-1}(Y)$ para generar la $\sigma$-álgebra en $X$. Tengo la sospecha de que un argumento similar podría de alguna manera el trabajo en el arbitrarias caso, pero sólo sospechar en este punto.

En las notaciones de la pregunta, denotan $p=d\mu/d\mu'$, luego de un medibles $Y\subset \overline{X}$ $$\begin{multline*} \int_{f_X^{-1}(Y)}p(x)\mu'_X(dx)= \frac{\mu(X)}{\mu'(X)}\int_{f_X^{-1}(Y)}\mu_X(dx)= \frac{\mu(X)}{\mu'(X)}\int_Y \mu_\overline{X}(dx)=\\= \frac{\mu(X)\mu'(\overline{X})}{\mu'(X)\mu(\overline{X})} \int_Yp(x)\mu'_\overline{X}(dx) =\frac{\mu(X)\mu'(\overline{X})}{\mu'(X)\mu(\overline{X})} \int_{f_X^{-1}(Y)}p(f_X(x))\mu'_X(dx). \end{multline*}$$

Desde $Y$ es arbitrario, tenemos que $\mu'$ -.s. en $X$ $$p(x)=\frac{\mu(X)\mu'(\overline{X})}{\mu'(X)\mu(\overline{X})} p(f_X(x))=C_Xp(f_X(x)).$$ Supongamos que $\mu'(p>1+\delta)>0$ algunos $\delta$, $\mu'(p<1)>0$ $p$ es el Radón-Nikodim de densidad de probabilidad de las medidas. Elija $1+\delta<a<b$ tal que $\mu'(a<p<b)>0$ $b-a<\delta$ (dividiendo $(\delta,\infty)$ sobre la igualdad de los intervalos de longitud de menos de $\delta$). Tome $\overline{X}\subset \{a<p<b\}$ tal que $\mu'(\overline{X})>0$ $\mu'(X\cap \{a<p<b\})>0$ (se puede hacer desde $\mu'$ es equivalente a la medida de Lebesgue).

Dependiendo de la constante de $C_X$, $p$ tiene valores en $(C_Xa,C_Xb)$.s. en $X$. Desde $X$ contiene $\{p<1\}$, $C_X<1/a$ y, por tanto,$p(X)\subset (-\infty, 1+\delta/a)$. Pero $X$ también contiene un positivo subconjunto de $\{a<p<b\}$, por lo que desde el $1+\delta/a<a$, obtenemos una contradicción y, de ello se sigue que $p\equiv 1$, por lo tanto $\mu=\mu'$.

EDITAR (idea):

Mi idea es que si $$\begin{array}{ll} \nu_X=\nu_{\overline X}f^{-1},\\ \mu_X=\mu_{\overline X}f^{-1},\\ \nu=p\mu, \end{array}$$ entonces, aplicando de forma heurística $f^{-1}$ dos veces con y sin la densidad de $p$, obtenemos (hasta la normalización de las constantes): $$\begin{array}{ll} \nu_{\overline X}f^{-1}=(p\mu_{\overline X}) f^{-1}=(pf^{-1})(\mu_{\overline X}f^{-1}),\\ \nu_{\overline X}f^{-1}=\nu_X=p\mu_X=p(\mu_{\overline X}f^{-1}). \end{array}$$ Esto significa que $p=pf^{-1}$, hasta una constante, lo que parece poco probable que un no-trivial $p$. Rigurosamente, después de la correspondiente secuencia de integral ecuaciones anteriores, obtenemos $(p\circ f)\mu_{\overline X}= p\mu_{\overline X}$ sólo en los conjuntos de la forma $f^{-1}(Y)$, por lo que necesito la familia de conjuntos de ser lo suficientemente rico como para distinguir los valores de $p$ conseguir $p=p\circ f$.s. En particular, cuando se $f$ es bijection, esta familia es el conjunto de Borel $\sigma$-álgebra y la idea funciona.

Answer 2

Su hipótesis acerca de tener una colección de funciones de satisfacciones ... se cumple para cualquier par de mutuo absolutamente continua atomless probabilidad de medidas en la unidad de intervalo. Para cada par $\mu \neq \mu'$ es un contraejemplo. Para mostrar esto es suficiente para demostrar la siguiente.

Reivindicación 1: Vamos a $X, Y$ ser completa separables métrica espacios. Deje $\mu_1, \mu_2$ dos atomless medidas de Borel en $X$ $\nu_1, \nu_2$ ser atomless medidas de Borel en $Y$. Entonces existe un mod-null bijection $f: X \to Y$ tal que $f$ es medir la preservación de w.r.t. $\mu_i, \nu_i$ $i = 1, 2$.

Para mostrar la Reivindicación 1, primero debe mostrar algo como lo siguiente:

Reivindicación 2: Deje $f:[0, 1] \to \mathbb{R}$ ser tal que $\int_{[0, 1]} f = 0$ (lebesgue intergral). A continuación, para cada $\delta \in [0, 1]$ existe un subconjunto $A \subseteq [0, 1]$ de la medida de lebesgue $\delta$ tal que $\int_{A} f = 0$.

El uso de la Reivindicación 2, usted puede construir countably las ramas de los árboles de subconjuntos compactos de $X, Y$, respectivamente, tal que los nodos están de acuerdo en sus respectivas medidas. Esto ayuda a demostrar la reivindicación 1.

Esta es la idea. Creo que se debe trabajar.