Demostrar o refutar que $f$ es la transformación de Möbius.

Question

El valor de la función analítica $f(z)$ se define como el valor de $f(1/t)$ en $t=0$ como elemento de $\Bbb C\cup \{\infty\}$ . Podemos considerar una función meromorfa como una función de $\Bbb C\cup \{\infty\}$ a $\Bbb C\cup \{\infty\}$

Supongamos que la expansión de Laurent en el original de dicha función meromorfa es de la forma $$\frac{b_N}{z^N}+\dots\frac{b_1}{z}+a_0+a_1z+\dots$$ donde $b_n\not=0$ y la serie converge para $0\lt \vert z\vert \lt \infty$ .

Además, supongamos que $f:\Bbb C\cup \{\infty\}\to \Bbb C\cup \{\infty\}$ es uno a uno.

Demostrar o refutar que $f$ es la transformación de Möbius.

Gracias por ayudar. Saludos cordiales

Answer 1

¿Está usted familiarizado con el hecho de que cada función meromorfa en $\mathbb{C}_\infty$ ¿es racional? Para ver esto, supongamos que $f$ es meromorfo en $\mathbb{C}_\infty$ . Supongamos que $f$ no es idéntico a cero. Entonces, como $\mathbb{C}_\infty$ es compacto, $f$ debe tener un número finito de ceros y polos. Consideremos la función racional $$r(z):=\prod_{i}(z-\lambda_i)^{e_i},$$ donde el $\lambda_i$ son los ceros y polos de $f$ y el $e_i$ son las órdenes correspondientes. Entonces $g=f/r$ es una función meromórfica sobre $\mathbb{C}_\infty$ sin ceros ni polos, y por lo tanto debe ser constante.

Ahora bien, si se asume que $f:\mathbb{C}_\infty \to \mathbb{C}_\infty$ es uno a uno, entonces es fácil comprobar que $f$ debe ser una transformación de Möbius. De hecho, $f$ tiene el grado uno.