Demuestre que existe una secuencia de polinomios de homeomorfismo sobre [0,1] que convergen uniformemente al homeomorfismo

Question

Dejemos que $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ sea un homeomorfismo. Demostrar que , existe una secuencia de polinomios $$(P_n(x))_n$$ tal que $P_n(x)$ convergen uniformemente a $f$ en $[0,1]$ y cada $P_n(x)$ es un homeomorfismo de $[0,1]$ a sí mismo.

Creo que si ponemos la condición adicional de que f sea $C^1$ entonces $f'$ será no negativo y continuo. Además, el teorema de Weierstrass dice que existirá una secuencia no negativa de polinomios $(Q_n(x))_n$ tal que converge uniformemente a $f'$ en $[0.1]$ . Ahora parece que $$P_n(x)=\int_{\mathbb{0}}^{x}Q_n(t)\:dt$$ trabaja .

¿Es esto cierto? ¿Hay otras formas?

Gracias

Answer 1

Podemos mostrar el resultado siguiendo las líneas que has esbozado. En primer lugar, observamos que basta con considerar el aumento monótono de $f$ para la transformación $g \mapsto 1-g$ es una isometría que preserva los polinomios.

Ahora necesitamos aproximar el homeomorfismo $f$ por homeomorfismos continuamente diferenciables. Para ello, extender $f$ a $\mathbb{R}$ al establecer

$$g(x) = \begin{cases} f(x) &, x \in [0,1] \\ x &, x \notin [0,1].\end{cases}$$

Además, dejemos que $\varphi$ sea una función uniforme no negativa con soporte compacto y $\int_\mathbb{R} \varphi(x)\,dx = 1$ . La convolucración da lugar a una familia

$$g_\eta(x) = \int_\mathbb{R} g(x-\eta y)\varphi(y)\,dy$$

de funciones suaves estrictamente crecientes que convergen uniformemente a $g$ en $\mathbb{R}$ pour $\eta \searrow 0$ con $g_\eta(x) = x$ pour $x \leqslant -\eta K$ o $x \geqslant 1+\eta K$ si el apoyo de $\varphi$ está contenida en $[-K,K]$ .

Dado $0 < \varepsilon < \frac{1}{2}$ , elija $\eta > 0$ tan pequeño que $\lvert g_\eta(x)-g(x)\rvert < \frac{\varepsilon}{10}$ para todos $x\in\mathbb{R}$ . Entonces

$$h(x) = \frac{g_\eta(x) - g_\eta(0)}{g_\eta(1) - g_\eta(0)}$$

define un homeomorfismo suave de $[0,1]$ . Tenemos

$$\begin{align} \lvert g_\eta(x) - h(x)\rvert &= \left\lvert \frac{g_\eta(x)(g_\eta(1)-g_\eta(0)) - (g_\eta(x)-g_\eta(0))}{g_\eta(1)-g_\eta(0)}\right\rvert\\ &\leqslant \frac{\lvert g_\eta(x)\rvert\cdot\lvert g_\eta(1)-1\rvert + \lvert g_\eta(0)\rvert\cdot \lvert 1-g_\eta(x)\rvert}{g_\eta(1)-g_\eta(0)}\\ &\leqslant 2\frac{\varepsilon}{10}\frac{1+\frac{\varepsilon}{10}}{1-2\frac{\varepsilon}{10}}\\ &< \frac{\varepsilon}{4}, \end{align}$$

así que $\lvert g(x) - h(x)\rvert < \frac{\varepsilon}{2}$ para todos $x\in [0,1]$ .

Ahora bien, como $h$ es suave y estrictamente creciente, $h'$ es continua y estrictamente positiva, por lo que se puede aproximar uniformemente $h'$ por polinomios positivos. Si $Q$ es un polinomio positivo tal que $\lvert Q(x)-h'(x)\rvert < \frac{\varepsilon}{5}$ pour $x\in [0,1]$ y $P(x) = \int_0^x Q(t)\,dt$ entonces $P$ es estrictamente creciente (en $[0,1]$ ) polinomio con $\lvert P(x) - h(x)\rvert < \frac{\varepsilon}{5}$ para todos $x\in [0,1]$ y $R(x) = \frac{P(x)}{P(1)}$ es un homeomorfismo polinómico de $[0,1]$ con

$$\lvert P(x) - R(x)\rvert = \left\lvert \frac{P(x)(P(1)-1)}{P(1)}\right\rvert\leqslant \frac{\varepsilon}{5}\cdot\frac{1+\frac{\varepsilon}{5}}{1-\frac{\varepsilon}{5}} < \frac{\varepsilon}{4},$$

así que

$$\lvert f(x) - R(x)\rvert \leqslant \lvert f(x) - h(x)\rvert + \lvert h(x) - P(x)\rvert + \lvert P(x) - R(x)\rvert < \varepsilon.$$