Supongamos que tenemos un cuadrado de lado $L$ . Dados 3 puntos no colineales dentro de este cuadrado, ¿podemos afirmar que el área del triángulo formado uniendo estos puntos es menor (o igual) $\frac{L^2}{2} $ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Supongamos que un lado del triángulo es paralelo a un lado del cuadrado. Entonces la base del triángulo es $\le L$ y la altura también es $\le L$ , por lo que el área es $\le $ L^2/2$.
Si ningún lado del triángulo son paralelos a cualquier lado del cuadrado, considera una línea que atraviesa el cuadrado paralela a un lado. Como ningún lado del triángulo es paralelo a ningún lado del cuadrado, la línea de barrido se encontrará con los puntos del triángulo tres veces. En la mitad de éstas, el triángulo se dividirá en dos triángulos con una base común de lado $\le L$ y altitudes que suman $\le L$ , por lo que su área combinada es $\le l^2/2$ .
