Ambas leyes dicen que, para algunas operaciones, el orden en que se realiza el cálculo no afecta al resultado. ¿Dónde está exactamente la diferencia?
Respuestas
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La ley conmutativa dice que $X \circ Y = Y \circ X$ donde $\circ$ es la operación considerada (suma, multiplicación, etc.). Es decir, puedes intercambiar el orden de las dos entradas de la operación y no importará.
La ley asociativa dice que $(X \circ Y) \circ Z = X \circ (Y \circ Z)$ donde los paréntesis le indican lo que debe hacer primero. Como puedes ver, es bastante diferente: ya no se trata de cambiar el orden de las "cosas" que operas, sino el orden de las propias operaciones.
Supongamos que las "cosas" son permutaciones de 3 objetos (de modo que "intercambiar 1 y 2" y "mover 1 a 2, 2 a 3 y 3 a 1" son "cosas" legítimas), y la "operación" es "hacer lo primero y luego lo otro". Puedes ver por ti mismo que la ley conmutativa es no satisfechos (pruebe a intercambiar 1 2 y luego 2 y 3 frente a hacerlo en el orden inverso), pero la ley asociativa es .
Neil C. Obremski
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Es muy difícil para mí mantenerlo claro. Me gusta la respuesta de Alon, pero también me gusta algo realmente simple que pueda referenciar:
- Asociativo : orden de operaciones
- Conmutador : orden de operandos
El otro problema que tengo más allá de esto es dar un ejemplo literal simple frente a uno abstracto. Si se me ocurre uno, lo añadiré aquí.
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Uno dice que el orden de las paréntesis no importa, el otro que el orden de los términos no importa. Se pueden tener leyes asociativas no conmutativas pero también leyes conmutativas no asociativas.
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¿Alguien conoce un ejemplo mínimo agradable para una operación conmutativa no asociativa?
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$x\circ y = xy+1$ es conmutativo pero no asociativo.
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Promedio por pares, $x\circ y:=(x+y)/2$ también es conmutativo pero no asociativo. Y la multiplicación de matrices es asociativa pero no conmutativa.