Probabilidad de obtener$4$ de las bolas más pequeñas en$2$ Cajas

Question

He a $2n$ bolas marcadas $1, 2, \ldots, 2n$, y dos cuadros, Cuadro de $1$ y el Cuadro de $2$. Aprovecho $n$ de las bolas al azar sin reemplazo y colocarlos en el Cuadro de $1$. Me tome el resto de $n$ bolas y colocarlas en el Cuadro de $2$. Puedo tomar los dos más pequeños-bolas numeradas de cada cuadro. ¿Cuál es la probabilidad de que termino con bolas $1, 2, 3$$4$?

Estoy tratando de esta para valores pequeños de a$n$, pero estoy luchando para ver el patrón. Se trata de la probabilidad $$ 1-P(\text{3 bolas 1,2,3,4 en la misma caja})-P(\text{todas las pelotas 1,2,3,4 en la misma caja}) .$$ Estoy teniendo problemas para encontrar la fórmula formulario aquí. Gracias!

Aceptar esta parte es más complicada. He 3n bolas y 3 cajas. Tomo n de las bolas al azar w/reemplazo y colocarlos en el Cuadro 1. Tomo n de los restantes 2n bolas al azar w/reemplazo y ponerlos en el Cuadro 2. Me tome el resto de n bolas y ponerlas en el Cuadro 3. Luego tomar el más pequeño, numeradas de la bola de cada cuadro y, a continuación, el más pequeño, numeradas de la pelota entre las bolas restantes. ¿Cuál es la probabilidad de que termino con bolas de 1,2,3,4?

Así que esta vez, está bien tener dos Bolas de 1,2,3,4 en uno de los cuadros, porque él va a tomar el más pequeño y volver por el lado más pequeño. Así que estoy pensando que es $\binom{4}{3}$ * ($\binom{3}{1}$$\binom{3n-3}{n-1}$)/$\binom{3n}{n}$ *($\binom{2}{1}$$\binom{2n-2}{n-1}$)/$\binom{2n}{n}$

No estoy seguro si necesito que el primer factor de $\binom{4}{3}$, aunque. Gracias!

Answer 1

Edit: en un principio, nos dejó algunos detalles, ya que la pregunta fue la tarea. Ahora que ha pasado el tiempo, añadimos un par de líneas para dar una respuesta completa.

Cuando tomamos los dos "más pequeñas" bolas de cada cuadro, se obtiene el conjunto de $\{1,2,3,4\}$ precisamente si $2$ de la $4$ más pequeñas bolas en el Cuadro 1 (y por lo tanto el otro $2$ están en el Recuadro 2). Así que tenemos que encontrar la probabilidad de que exactamente $2$ de la $4$ más pequeñas bolas en el Cuadro 1.

En la decisión de bolas que van en la Caja 1, tenemos $\binom{2n}{n}$ opciones. El problema especifica que todas ellas son igualmente probables.

Ahora contamos el número de opciones en la que exactamente $2$ de nuestra $4$ más pequeñas bolas de final en el Cuadro 1. Que $2$ estos $4$ va a ser? Estos $2$ bolas puede ser elegido de la $4$ $\binom{4}{2}$ maneras. Para cada modo de decidir cual de las $4$ más pequeñas bolas Cuadro 1, el resto de las bolas para el Cuadro 1 puede ser elegido en $\binom{2n-4}{n-2}$ maneras.

Por lo tanto el número de "buenas" maneras de elegir las bolas en el Cuadro 1 es igual a $\binom{4}{2}\binom{2n-4}{n-2}$. De ello se deduce que la probabilidad es $$\frac{\binom{4}{2}\binom{2n-4}{n-2}}{\binom{2n}{n}}.$$

Después de obtener la expresión para la probabilidad, se puede "simplificar." O no. Hay un montón de cancelación, ya que $(2n)!=(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-30(2n-4)!$$n!=n(n-1)(n-2)!$. Terminamos con la siguiente expresión para la probabilidad de: $$\frac{3n(n-1)}{2(2n-1)(2n-3)}.$$

Comentario: Cuando leí por primera vez el problema, pensé que después de la asignación inicial de las bolas de la Caja 1 y Caja 2, $2$ bolas son elegidos al azar de cada caja, y queremos que la probabilidad de que estos nos proporcionan el conjunto de $\{1,2,3,4\}$. Que modificó el problema no es difícil de resolver de una vez hemos resuelto el problema original.