Demostrar que $\int^2_0 x(8-x^3)^\frac{1}{3}dx=\frac{16\pi}{9\sqrt{3}}$

Question

Tengo que demostrarlo:

$$\int^2_0 x(8-x^3)^\frac{1}{3}dx=\frac{16\,\pi}{9\sqrt{3}}.$$

Intenté sustituirlo por $x^3=8u$ pero me quedé atascado.

Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Al establecer por primera vez $x=2z$ que tenemos: $$I=\int_{0}^{2}x(8-x^3)^{1/3}\,dx = 8\int_{0}^{1}z(1-z^3)^{1/3}\,dz \tag{1}$$ y al establecer $z=t^{1/3}$ que tenemos: $$I=\frac{8}{3}\int_{0}^{1}t^{-1/3}(1-t)^{1/3}\,dt = \frac{8}{3}\cdot\frac{\Gamma\left(\frac{2}{3}\right)\Gamma\left(\frac{4}{3}\right)}{\Gamma(2)}\tag{2}$$ a través de Función Beta de Euler . Aprovechando la fórmula de reflexión para el $\Gamma$ función: $$ I = \frac{8}{9}\,\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)\Gamma\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{8\pi}{9\sin\frac{\pi}{3}}=\color{red}{\frac{16\,\pi}{9\sqrt{3}}}\tag{3}$$ como se quería.

Answer 2

Sólo por diversión, voy a dar una solución utilizando herramientas de análisis complejo

Utilicemos una sustitución $x=2y^{\frac{1}{3}}$ . Obtenemos $$ I=\frac{8}{3}\int_{0}^{1}y^{\frac{-1}{3}}(1-y)^{\frac{1}{3}}dy $$

Ahora (interpretamos $y$ como variable compleja), podemos elegir la rama principal de $\log(y)$ para que sea el eje real positivo. Entonces, sumando cuidadosamente las fases procedentes de ambas partes del producto, vemos que efectivamente hemos creado un corte de rama en el intervalo $[0,1]$ . Además en esta región sostiene que:

$\text{Arg}(\Re[y]+i\delta)=0$ y $\text{Arg}(\Re[y]-i\delta)=2 \pi $ donde $\delta \rightarrow 0^+$ .

Aplicando el teorema del residuo a un contorno que encierra la rama cortada en sentido contrario a las agujas del reloj, obtenemos

$$ I\times(1-e^{ 2 \pi i /3})=-2 \pi i\times \text{res}(y=\infty) $$

Con nuestra selección de ramas $\text{res}(y=\infty)=-\frac{e^{i \frac{\pi}{3}}}{3}$

Si lo juntamos todo esto nos da

$$ I=\frac{16 \pi}{9\sqrt3{}} $$