¿Es el momento angular realmente fundamental?

Question

Puede parecer una pregunta un poco trillada, pero es una pregunta que me intriga desde hace tiempo.

Desde que aprendí formalmente la mecánica clásica (newtoniana), a menudo me ha llamado la atención que el momento angular (y, en general, la dinámica rotacional) puede derivarse completamente del momento y la dinámica normales (lineales). Simplemente considerando el movimiento circular de una masa puntual e introduciendo nuevas cantidades, parece que se puede describir y explicar completamente el momento angular sin necesidad de nuevos postulados. En este sentido, me lleva a creer que sólo el momento y la dinámica ordinarios son fundamentales para la mecánica, y que las cosas rotacionales son efectivamente un corolario.

Luego, en un momento posterior, aprendí la mecánica cuántica. De acuerdo, así que el momento angular orbital no perturba realmente mi imagen del origen/fundamentalidad, pero cuando consideramos el concepto de girar Esto introduce un problema en esta propuesta de comprensión (filosófica). El espín es un momento angular aparentemente intrínseco; es decir, se aplica a una partícula puntual. Algo puede poseer un momento angular que no se está moviendo/rotando - ¡un concepto que no existe en la mecánica clásica! ¿Implica esto que el momento angular es de hecho una cantidad fundamental, intrínseca al universo en algún sentido?

Me molesta un poco que partículas fundamentales como los electrones y los quarks puedan poseer su propio momento angular (spin), cuando de otro modo el momento angular/la dinámica rotacional se desprendería de forma bastante natural de la mecánica normal (lineal). Por supuesto, hay algunas teorías marginales que proponen que incluso estas supuestas partículas fundamentales son compuestas, pero por el momento los físicos aceptan ampliamente el concepto de momento angular intrínseco. En cualquier caso, ¿se puede resolver este dilema o simplemente tenemos que ampliar nuestro marco de cantidades fundamentales?

Answer 1

Nota Como ha señalado David, es mejor distinguir entre los genéricos momento angular y momento angular orbital . El primer concepto es más general e incluye el giro, mientras que el segundo (como su nombre indica) sólo se refiere a la órbita. También existe el concepto de momento angular total que es la cantidad que realmente se conserva en los sistemas con simetría rotacional. Pero en ausencia de espín coincide con momento angular orbital . Esta es la situación que analizo en el primer párrafo.

---

Momento angular es fundamental. ¿Por qué? Teorema de Noether nos dice que la simetría del sistema (en este caso el espacio-tiempo) lleva a la conservación de alguna cantidad (momento para la traslación, momento angular orbital para la rotación). Ahora bien, resulta que el espacio euclidiano es invariante tanto en traslación como en rotación de forma compatible, por lo que estos conceptos están relacionados y puede parecer que se puede derivar uno del otro. Pero puede existir un espacio-tiempo que sea invariante en traslación pero no en rotación y viceversa. En tal espacio-tiempo no se obtendría una relación entre el momento angular orbital y el momento.

Ahora, para abordar el giro. De nuevo, es el resultado de una simetría. Pero en este caso la simetría surge debido a La correspondencia de Wigner entre las partículas y las representaciones irreducibles del Grupo de Poincaré que es el grupo de simetría del El espacio-tiempo de Minkowski . Esta correspondencia nos dice que las partículas masivas se clasifican por su masa y su espín. Pero el espín no es un momento angular orbital. El espín corresponde al grupo $Spin(3) \cong SU(2)$ que es una portada doble de $SO(3)$ (simetría rotacional del espacio euclidiano tridimensional). Por tanto, se trata de un concepto completamente diferente que sólo se parece superficialmente y que no puede compararse directamente con el momento angular orbital. Una forma de ver esto es que el espín puede ser un medio entero, pero el momento angular orbital debe ser siempre un entero.

Así que para resumir:

• momento angular orbital es un concepto clásico que surge en cualquier espacio-tiempo con simetría rotacional.
• girar es un concepto que proviene de la teoría cuántica de campos construida sobre el espacio-tiempo de Minkowski. El mismo concepto también funciona para la teoría de campos clásica, pero ahí no tenemos una correspondencia clara con las partículas, por lo que he omitido este caso.

---

Adición para los curiosos

Como ha señalado Eric, hay algo más que una similitud superficial entre el momento angular orbital y el espín. Para ilustrar la conexión, es útil considerar la cuestión de cómo se transforman las propiedades de las partículas bajo el cambio de coordenadas (recordemos que la conservación del momento angular total surge debido a la invariancia al cambio de coordenadas que corresponde a la rotación). Procedamos con un poco más de generalidad y consideremos cualquier transformación $\Lambda$ del grupo de Lorentz. Tengamos un campo $V^a(x^{\mu})$ que se transforma en representación matricial ${S^a}_b (\Lambda)$ del grupo de Lorentz. Gracias a Wigner sabemos que corresponde a alguna partícula; por ejemplo, puede ser escalar (como el Higgs), bispinor (como el electrón) o vectorial (como el bosón Z). Sus propiedades de transformación bajo el elemento ${\Lambda^{\mu}}_{\nu}$ se determinan entonces mediante (utilizando la convención de suma de Einstein)

$$ V'^a ({\Lambda^{\mu}}_{\nu} x^{\nu}) = {S^a}_b(\Lambda) V^b (x^{\mu}) $$

A partir de esto se puede ver, al menos intuitivamente, la relación entre las propiedades del espacio-tiempo ( $\Lambda$ ) y la partícula ( $S$ ). Volviendo a la pregunta original: $\Lambda$ contiene información sobre el momento angular orbital y $S$ contiene información sobre el giro. Así que ambos están conectados, pero no de forma trivial. En particular, no creo que sea muy útil imaginar el espín como el girando de la partícula (en contra de la terminología). Pero, por supuesto, cualquiera es libre de imaginar lo que crea que le ayuda a comprender mejor la teoría.

Answer 2

En el campo de la mecánica clásica, el momento angular se deriva casi siempre del momento lineal. En realidad, éste podría ser el problema, porque también es posible hacerlo al revés: el momento lineal es un caso límite del momento angular cuando el radio de rotación se vuelve infinito. Desde este punto de vista, la división entre el momento rotacional y el lineal se desvanece - el nuevo concepto que se introduce es: infinito .

Esta idea no es nueva, está establecida desde el siglo XIX. Utilizando la geometría proyectiva, se puede integrar la cinemática y la dinámica lineal y angular en un solo marco (es decir, una traslación es una rotación alrededor de un eje infinito; un momento puro es una fuerza a lo largo de una línea de acción infinita). Palabras clave: Félix Klein, complejos lineales.

Otra cuestión es el momento angular intrínseco. Podría decir: estudia los fundamentos, los principios y las matemáticas, y al final obtendrás una imagen holística, pero no es eso lo que creo. Creo que necesitamos algún tipo de geométrico modelo de electrones que nos permite representar el momento angular intrínseco.

Answer 3

El que se llame "fundamental" a un concepto similar es cuestión de gustos, y la proposición no es más que un eslogan emocional sin sentido. El momento angular es seguramente una cantidad importante que es, en un sentido muy bien definido, tan importante como el momento normal. Por cierto, ambos se conservan si las leyes físicas son simétricas con respecto a las traslaciones y rotaciones, respectivamente.

Así que la verdadera pregunta es por qué el espín en la mecánica cuántica no puede reducirse al movimiento orbital, es decir, al "movimiento lineal" y al "momento" ordinario. Es porque los objetos en la mecánica cuántica se describen no sólo por su forma en el espacio, sino por funciones de onda, y se puede decir que las funciones de onda se transforman de forma no trivial (en otra cosa) bajo rotaciones.

En particular, si la función de onda (o un campo) es un vector o un tensor o, más típicamente, un espinor, entonces significa que en un sistema de coordenadas diferente, los valores de los componentes de la función de onda serán diferentes. Esto es posible incluso en el caso de que la función de onda (o el campo) esté totalmente localizada en un punto, es decir, que nada gire "orbitalmente".

El momento angular se define por el cambio de fase de la función de onda bajo las rotaciones, que puede provenir de la dependencia de la función de onda en el espacio, pero también de las transformaciones de los componentes de la función de onda entre sí, lo que es posible incluso si todo está localizado en un punto. Así que incluso los objetos puntuales pueden llevar un momento angular en la mecánica cuántica, el espín.

Obsérvese que el giro es un múltiplo de $\hbar/2$ y $\hbar$ se envía a cero en el límite clásico, por lo que en el límite clásico, el espín como el momento angular interno se convierte en cero y desaparece, de todos modos.

Otra novedad del espín es que, a diferencia del momento angular, puede ser medio entero, no sólo un múltiplo de $\hbar$ : también $\hbar/2$ es posible. Eso es porque las funciones de onda (y los campos) pueden transformarse como espinores que cambian de signo si se giran 360 grados. Sólo una rotación de 720 grados es topológicamente indistinguible de "ninguna rotación", por lo que las funciones de onda están obligadas a volver a sus valores originales bajo una rotación de 720 grados. Sin embargo, los fermiones cambian de signo con rotaciones de 360 grados, lo que corresponde a su espín semi-integral.

Si la palabra "fundamental" significa que no puede reducirse a otras cosas, como una intuición clásica sobre el movimiento y la rotación, entonces ten por seguro que el espín es condenadamente fundamental, como el resto de la mecánica cuántica.

Mis mejores deseos Lubos

Answer 4

En la mecánica clásica, las entidades fundamentales cambian según el marco por el que se opte. Si optas por la mecánica clásica newtoniana, yo diría que las entidades fundamentales son las posiciones y las velocidades. Todas las demás pueden derivarse de ellas y la dinámica de las partículas se describe en términos de funciones de éstas (las fuerzas son funciones del tiempo, las posiciones y las velocidades).

Pero si se pasa a la mecánica hamiltoniana, entonces las posiciones y los momentos se vuelven fundamentales. Y el hamiltoniano puede expresarse como una función de estos y posiblemente del tiempo.

Claramente, en la mecánica clásica, el momento angular es siempre una cantidad derivada, porque siempre es un momento angular orbital, nunca un momento angular intrínseco. Incluso cuando se tiene un objeto que gira sobre un eje propio, esto puede entenderse como que las partículas que constituyen el objeto ejecutan un movimiento orbital. Por supuesto, se pueden escribir hamiltonianos que dependan del momento angular de la parte superior, pero se trata de descripciones de nivel superior, el momento angular de la parte superior todavía podría descomponerse en principio en los momentos angulares orbitales de sus constituyentes. Por supuesto, esto no sería un enfoque muy práctico para la resolución de problemas.

Por tanto, como dices, un momento angular intrínseco fundamental es una novedad en la mecánica cuántica. La forma en que entra en las ecuaciones suele ser a través de la multivalencia de la función de onda. Digamos que una partícula de espín 1/2 tiene que ser descrita por dos funciones de onda de componentes independientes (podría haber más componentes, pero estos no serían independientes). No conozco ninguna forma de evitar esto. Este es un hecho básico de cómo funciona la naturaleza y está relacionado con las representaciones del grupo de simetría del espacio-tiempo.

Dado que el grupo de simetría del espacio-tiempo es básicamente el mismo en la física cuántica y en la clásica, no veo, sin embargo, por qué no debería ser posible describir partículas con momentos intrínsecos en la mecánica clásica. Creo que en principio es posible. La cuestión es si es útil. Dado que todas nuestras partículas elementales tienen que ser descritas a nivel cuántico, ¿de qué sirve una teoría clásica de partículas con momentos intrínsecos? ¿Excepto en el sentido de abordar problemas como el de la cima por simplificación o algo así?

EDIT: De hecho, las teorías de campo clásicas tienen espín. Piensa en las ecuaciones de Maxwell, por ejemplo.

Answer 5

En cuanto al espín y las partículas extendidas, yo diría lo contrario: no es contrario a la intuición que las partículas puntuales tengan algún momento angular intrínseco, porque un punto parece que tiene incorporada alguna invariancia de rotación. Lo sorprendente es que los objetos extendidos tengan este momento angular, sin un punto para que la simetría rotacional pivote en él.