¿Qué significa para un grupo de "actuar algebraicamente"?

Question

Estoy leyendo el documento Cómo utilizar campos finitos para problemas relativos a los campos infinitos , por Serre. En el teorema 1.2 en la página 1, que dice

Deje$G$ sea un finita$p$ - grupo que actúe algebraicamente ...

En el marco de las acciones, ¿cuál es el significado de la palabra "algebraicamente"?

Answer 1

Más Naturalmente, la acción de un grupo algebraica% $G\times X\rightarrow X$sobre una variedad algerbaic se llama algebraica, si$(g,x)\mapsto g.x$ es un morfismo satisfacer la dos axiomas usuales$e.x=x$ y$(gh).x=g.(h.x)$. Cada grupo finito es algebraico, por lo que esto tiene sentido.

Answer 2

Esto significa que, bajo la acción, cada elemento$g\in G$ induce una "algebraica" mapa$\mathbb{A}^n\to\mathbb{A}^n$, es decir un mapa que consta de polinomios. Ver la página de Wikipedia morfismo de variedades .

Answer 3

Dado que el grupo actúa sobre una variedad, siendo la acción algebraica significa que para cada$g\in G$, el mapa$X\to X$ dada por$x\mapsto g.x$ es un morfismo de variedades.

Answer 4

El mapa$\mathbb{A}^n\to\mathbb{A}^n$ definido por cada$g$ debe ser un mapa algebraica, es decir, definido por una ecuación polinómica.

La acción se define por un mapa$G\to\operatorname{Aut}(\mathbb{A}^n)$, donde el grupo de automorfismos se toma en la categoría de variedades algebraicas. Habría más ambigüedad si se sustituye$\mathbb{A}^n$ en$\mathbb{C}^n$; a continuación,$\mathbb{C}^n$ podría ser considerado (por ejemplo), ya sea como una variedad algebraica o como un espacio topológico (con la topología Euclidiana), y el grupo$\operatorname{Aut}(\mathbb{C}^n)$ sería diferente en cada caso.

Answer 5

Decir que un grupo actúa algebraica es análogo a decir que actúa de forma continua, los actos sin problemas, etc.

En él se especifica qué tipo de mapa del morfismo acción está destinada a ser, como un mapa$G \times X \to X$. (O equivalentemente, cuando$G$ es finito, qué tipo de endomorphism$\varphi(g) \colon X \to X$ cada uno$g \in G$ produce.)