Demostrar que la secuencia dada por$c_n = \sqrt{1+c_{n-1}}$ converge y encontrar el límite

Question

Deje$c_1 = 2$, y para el$n > 1$, deje$c_n = \sqrt{1+c_{n-1}}$. Probar:

1. (Por inducción) que$c_n < 2$, para$n > 1$.

2. (Por inducción) que {$c_n$} se monótonamente decreciente.

3. que la secuencia {$c_n$} converge.

4. ¿Qué hace la secuencia converge a?

No estoy seguro de cómo abordar este problema, y ​​mucho menos cómo hacerlo. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Paso 1: Nos probar por inducción que $c_{n+1}\lt c_n$ todos los $n$.

Por un cálculo directo se puede comprobar que $c_2\lt c_1$.

Supongamos que para un determinado $k$,$c_{k+1}\lt c_k$. Vamos a mostrar que el $c_{k+2}\lt c_{k+1}$.

Tenemos $c_{k+2}=\sqrt{1+c_{k+1}}$. Pero por la inducción de la asunción, $c_{k+1}\lt c_k$, y por lo tanto $\sqrt{1+c_{k+1}}\lt \sqrt{1+c_k}$. De ello se sigue que $$c_{k+2}=\sqrt{1+c_{k+1}}\lt \sqrt{1+c_k}=c_{k+1}.$$ Esto completa el paso de inducción.

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Paso 2: Nuestra secuencia es, obviamente, delimitada por debajo de, por ejemplo,$0$. Puesto que la sucesión es monótona decreciente y acotada por debajo, tiene un límite de $a$.

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Paso 3: Nos han $$a=\lim_{n\to\infty}c_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\sqrt{1+c_n}=\sqrt{1+a}.$$ Si tenemos justificación para el último paso, es por la continuidad de la función $\sqrt{1+x}$.

De ello se desprende que $a=\sqrt{1+a}$. Cualquier raíz de esta ecuación es una raíz de $a^2-a-1=0$.

El positivo de la raíz de $a^2-a-1=0$$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$. Ese es nuestro límite.

La Proporción áurea ataca de nuevo!

Answer 2

Para probar que es acotada arriba por $2$ observa podemos suponer para algunos $k$ que $c_k<2$ lo $1+c_k<3<4$$c_{k+1}=\sqrt{1+c_k}<2$. Espectáculo $c_2<1$ mantiene y por el principio de inducción tenemos que para $n>1$.

Para probar que es la disminución de intentar algo como $c_k<c_{k-1}$ por lo tanto $1+c_k<1+c_{k-1}$$c_{k+1}=\sqrt{1+c_k}<\sqrt{1+c_{k-1}}=c_k$. Ahora mostrar $c_3<c_2$ y por el principio de inducción que tiene de $n>1$.

Podemos utilizar el teorema de convergencia monótona a la conclusión de $\{c_n\}$ converge. Para determinar el límite de sí mismo, asumir la $\lim\limits_{n\to\infty}c_n=L$. Observar ahora:$$\begin{align*}\lim_{n\to\infty}c_n&=\lim_{n\to\infty}\sqrt{1+c_{n-1}}\\L&=\sqrt{1+L}\\L^2-L-1&=0\end{align*}$$This gives us only one positive real root, $L=\varphi=\frac12(1+\sqrt5)$ es decir, la proporción áurea.