derivación de error de predicción / generalización

Question

En la sección 7.3 de "los Elementos de La Estadística de Aprendizaje" (Hastie, Tibshirani, Friedman, 2009) se pueden encontrar las siguientes:

Estoy en una pérdida en cuanto a cómo llegar desde la primera a la segunda línea, y cómo llegar desde la segunda a la tercera línea de la derivación:

1. En la línea 2, aparece el primer y segundo trimestre, pero el tercero aparece de la nada: sólo obtengo $E\left[\hat{f}^2\right]$ para el tercer mandato al ampliar la primera línea.
2. En la línea 3, ¿cómo es que la varianza de seguir en la línea 2? Es este un error tipográfico en la línea 2? En mi libro, $\operatorname{Var}\left(\hat{f}\right) = E\left[\left(\hat{f}-E\hat{f}\right)^2\right]$, no $\operatorname{Var}\left(\hat{f}\right)=\left(E\left[\hat{f}-E\hat{f}\right]\right)^2$ como se sugiere.

¿Alguien puede aclararme?

Answer 1

OK, lo tengo:

$E[(Y-\hat{f})^2] = E[\epsilon^2 + 2f\epsilon -2\epsilon\hat{f} + f^2 - 2f\hat{f} + \hat{f}^2]$

$E[(Y-\hat{f})^2] = \sigma_\epsilon^2 + f^2 - 2fE\hat{f} + E[\hat{f}^2]$

Tenga en cuenta que:

$E[(\hat{f}-E\hat{f})^2] = E[\hat{f}^2] - 2E\hat{f}E\hat{f} + (E[\hat{f}])^2$

$E[(\hat{f}-E\hat{f})^2] = E[\hat{f}^2] - (E[\hat{f}])^2$

Sigue:

$E[(Y-\hat{f})^2] = \sigma_\epsilon^2 + f^2 - 2fE\hat{f} + (E[\hat{f}])^2 + E[(\hat{f}-E\hat{f})^2]$

$E[(Y-\hat{f})^2] = \sigma_\epsilon^2 + (E[\hat{f}]-f)^2 + E[(\hat{f}-E\hat{f})^2]$