¿Definición precisa de "más débil" y "más fuerte"?

Question

Si digo que $A$ es más fuerte que $B$ Quiero decir que $A \Rightarrow B$ o que $B \Rightarrow A$ ? (¿O algo más?)

Creo que he visto ambos usos en la literatura, lo que resulta confuso.

Pensamientos basados en la intuición:

$A \Rightarrow B$ significa $A$ es un caso especial de $B$ -- $B$ es más general. Esto parece implicar que $B$ es "más fuerte". (Ejemplo: $n$ es un número entero implica $n$ es un número real).

$A \Rightarrow B$ también significa que siempre que $A$ retenciones, $B$ debe aguantar. Esto parece implicar que $A$ es "más fuerte".

Answer 1

Si $A\Rightarrow B$ entonces para cada $C$ si $B\Rightarrow C$ tenemos que $A\Rightarrow C$ . Por lo tanto $A$ implica como mínimo las mismas proposiciones que $B$ implica.

A partir de aquí tenemos dos opciones:

1. $B\Rightarrow A$ en cuyo caso $A$ es equivalente a $B$ e implican lo mismo.
2. $B\nRightarrow A)$ es decir $B$ hace no implica $A$ . Tenemos si para que $A$ es más fuerte que $B$ desde $A\implies A$ pero $B$ no lo hace.

En esencia " $A$ es más fuerte que $B$ " es cuando $\{C\mid B\Rightarrow C\}\subsetneq\{C\mid A\Rightarrow C\}$ y equivalente es cuando los conjuntos son iguales.

Answer 2

Supongamos, simplificando, que $\lnot(B \implies A)$ .

Entonces $A \implies B$ puede expresarse informalmente como " $A$ es (estrictamente) más fuerte que $B$ ."

Es ciertamente posible que en esta situación, en algún momento, alguien haya escrito en su lugar " $B$ es más fuerte que $A$ ." Cosas que pasan. Todos hemos escrito $x<y$ cuando queríamos decir $y<x$ . Y el intercambio de "condición necesaria" y "condición suficiente" se produce con tanta (relativa) frecuencia que quizá sea mejor evitar estos términos.

Pero " $A$ es más fuerte que $B$ " sólo tiene una interpretación correcta en cuanto a la dirección de la implicación (con desacuerdo, posiblemente, en el caso de la equivalencia).

Sin embargo supongamos que hemos demostrado el teorema $X$ , $\:$ (a) en el supuesto $A$ y $\:$ (b) en el supuesto $B$ . Entonces el resultado (b) se considera un más fuerte que el resultado (a). Esto es perfectamente coherente con el significado ordinario de "más fuerte", ya que $$(B \implies X) \implies (A\implies X).$$