Conseguir que los alumnos no teman la confusión

Question

Soy estudiante de quinto año de licenciatura y he impartido varias clases para estudiantes de primer y segundo año. Este verano, como estudiante de posgrado "avanzado" (sea lo que sea que eso signifique) tuve que enseñar una clase de nivel superior: Introducción al Análisis Real.

Dado que esta fue esencialmente la primera clase "real" de matemáticas de estos estudiantes, no han aprendido realmente cómo estudiar o aprender este tipo de cosas. Durante todo el verano les he insistido en que tienen que trabajar más que hacer unos cuantos problemas a la semana.

Para entender las definiciones y los conceptos, hay que dedicar tiempo y esfuerzo a comprobar las pruebas de los teoremas y averiguar por qué son necesarias. Hay que crear un arsenal de ejemplos para tener una idea general de las ideas en la cabeza.

Lo más importante, en mi opinión, es que te regodees en tu confusión durante un tiempo cuando tengas problemas. Pasar tiempo con tu confusión e intentar salir de ella (¡incluso si no funciona!) es una parte importante del proceso de aprendizaje. Por supuesto, pedir ayuda después de un punto también es importante.

Pregunta: ¿Cuál es una buena manera de convencer a los estudiantes de que pasar el tiempo perdidos y confundidos es algo razonable y cómo se les motiva realmente a hacerlo?

Anécdota: A pesar de haber intentado durante todo el trimestre explicar esto de varias maneras, constantemente venía gente a las horas de oficina que apenas había tocado los deberes porque "estaban confundidos". Pero no habían intentado nada. Luego, cuando hablaba de una respuesta para intentar que hicieran ciertas partes clave por su cuenta o para que entendieran el concepto en cuestión, se frustraban y preguntaban "¡¿entonces converge o no?!".

Es increíblemente difícil sacudir su firme creencia de que la respuesta es lo importante. Los que consiguen salir de esta creencia parecen quedarse estancados en que escribir una prueba correcta es lo importante. Ninguno parece llegar a querer entenderlo como lo importante. (¿Probablemente una buena pregunta de la wiki de la comunidad? Además, real-analysis podría ser una etiqueta inapropiada, haz lo que quieras)

Answer 1

¿Alguien ha probado como técnica adicional el método del "relleno"?

Se basa en el método de enseñanza de probada eficacia denominado "encadenamiento inverso". Para ilustrarlo, si estás enseñando a un niño a ponerse un chaleco, no le tiras el chaleco y le dices que se lo ponga. En su lugar, se lo pone casi, y le pide al niño que haga la última parte, y así sucesivamente. Poco a poco se le va poniendo el chaleco, el niño siempre lo consigue y finalmente puede ponérselo sin ayuda. Esto se llama aprendizaje sin errores y es un método probado, sobre todo en el adiestramiento de animales (¡casi el único método! pregúntale a cualquier psicólogo, pues yo lo aprendí de uno).

Así que hemos probado a escribir una prueba de que, por ejemplo, el límite del producto es el producto de los límites (no es posible que un estudiante lo haga desde cero), y luego hemos dejado en blanco varias partes, que los estudiantes tienen que completar, utilizando las pistas de las otras partes no en blanco. Esto es bastante realista, ya que un profesional escribe una prueba y luego busca los errores y las lagunas. Lo importante es que les das a los alumnos la estructura de la prueba, así que eso también es una enseñanza.

¡Este tipo de ejercicio también es agradable y fácil de marcar!

Por último, sobre el fracaso: el secreto del éxito es la gestión exitosa del fracaso. Esto puede enseñarse pasando poco a poco de los pequeños fracasos a los grandes. Este es un método de enseñanza estándar.

Puntos adicionales: Mi amigo y colega psicólogo me aseguró que el principio aceptado es que las personas (y los animales) aprenden del éxito . Esto también es, en parte, una cuestión de comunicación.

Otra forma de conseguir este éxito es añadir tantos puntales a una situación que el éxito esté asegurado, y luego ir eliminando los puntales poco a poco. Por supuesto, hay graves problemas para hacer todo esto en clases grandes. Esto requerirá mucho ingenio por parte de todos los jóvenes con talento. Puede encontrar más información sobre este tema en el artículo debatir la noción de contexto frente a la de contenido.

Mi propio desconcierto en la educación de los adolescentes no fue, por supuesto, en las matemáticas, sino que fue en el arte: No tenía ni idea de los fundamentos del dibujo y los bocetos. ¿Qué se supone que debía hacer? Así que soy un creyente en el interés y la importancia de la noción de metodología en cualquier cosa que uno esté haciendo, o tratando de hacer, y aquí hay un enlace a una discusión de la metodología de las matemáticas .

10 de diciembre de 2014 Yo haría otro punto, que es uno necesita observación que debe compararse con un tutor de piano que escucha la interpretación de los alumnos. He probado a dar clases a grupos de, por ejemplo, 5 ó 6 personas, en las que no escribía nada en la pizarra, pero pedía a un alumno que fuera a la pizarra y realizara uno de los ejercicios establecidos. "¡No sé cómo hacerlo!" "Bueno, ¿por qué no escribes la pregunta en la pizarra para empezar?". Entonces procedíamos, dando pistas sobre la estrategia, que la observación acababa de demostrar que no existía, pero con el estudiante que hace todo lo que escribe .

En un curso de análisis, cuando tenemos que demostrar en una etapa $A \subseteq B$ , preguntaba a la clase: "¿Cuál es la primera línea de la prueba?" Luego: "¿Cuál es la última línea de la prueba?" y después de la ayuda y unas cuantas repeticiones, captaban la idea. Me temo que la gramática ha desaparecido del programa escolar, por "anticuada".

Ver las matemáticas trabajadas en tiempo real, con fallos, y cómo un profesional se enfrenta al fracaso, es esencial para el aprendizaje, y a nivel de investigación. Recuerdo haber pensado después de una sesión de todo el día con Michael Barratt en 1959: "Bueno, si Michael Barratt puede intentar una tontería tras otra, yo también puedo", y desde entonces he seguido este método. (Es cierto que sus intentos no eran tan "malditamente tontos", pero estoy seguro de que se entiende la idea). El secreto del éxito es la gestión exitosa del fracaso, y quizá la mejor manera de aprenderlo es observando cómo un profesional se enfrenta al fracaso.

Answer 2

Sólo una parte de esto será un intento de respuesta, porque mi primera reacción fue, sin rodeos, "gorda". Los estudiantes estadounidenses -y veo que los tuyos son estadounidenses- han llegado a ti a través de un sistema que es mucho mejor para dirigir las ambiciones de los estudiantes con talento hacia las notas altas que hacia la comprensión profunda. Incluso en una clase de matemáticas de nivel superior, la mayoría de sus alumnos no van a ser matemáticos. Aquellos que han llegado al último o segundo año de su educación sin comprometerse de verdad es poco probable que se conviertan incluso por un maestro, para quien la mejor oportunidad fue mucho antes.

Dejando a un lado el pesimismo, lo que puedas hacer depende mucho de la libertad que tengas en el diseño del curso. Si das un curso en el que la nota se decide por si los deberes semanales y un par de exámenes llegan con soluciones exactas, tus alumnos intentarán producir una simulación decente de una solución exacta de la forma más eficiente posible, con algunas agradables excepciones. Varias ideas (no probadas): Involucre la escritura en sus tareas, tanto cuando un estudiante puede como cuando no puede llegar a una solución. En el primer caso, pídale que exprese con cuidado y de forma completa lo que ha pensado y con lo que ha tropezado. Esto, naturalmente, les llevará a menudo a tener más éxito. Cuando lo consigan, pídeles que escriban algunas reflexiones sobre distintas variantes del problema, que deberán inventar ellos mismos: ¿por qué es necesaria esta hipótesis? ¿Podría debilitarla? ¿Qué pasa si modifico ligeramente esta serie? Puede mostrarles este consejos de Terry Tao, así como sus notas sobre la valoración del progreso parcial y sobre hacerse preguntas tontas, con este fin.

El principio general que propongo es que si quieres que los estudiantes pasen el tiempo perdidos y confundidos, recompensarles por hacerlo y luego contarlo. Incluso consideraría mejor la calificación de un estudiante que no pudiera demostrar el MVT a partir del Teorema de Rolle, pero que escribiera tres intentos diferentes, plausibles y completos, que la de uno que se limitara a decir "Define ". $g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x-f(a).$ Rolle's se aplica a $g$ en $c$ . El MVT se satisface allí para $f$ ." Los exámenes, naturalmente, no soportarían las mismas condiciones, ya que nadie debería salir del análisis real sin ser capaz de hacer eso último.

Answer 3

Una cosa importante que me ayudó a superar la Introducción al Análisis Real fue leer algo sobre lógica e introducción a las pruebas. Aprender algunas técnicas de demostración, cuáles son las formas de atacar un problema. Eso es lo que los estudiantes nunca aprenden en Cálculo y esa es la principal razón por la que es difícil pasar de Cálculo a Análisis Real.

Así que lo que yo recomendaría es ofrecer lecturas complementarias sobre esa materia: lógica e introducción a las pruebas. El libro que utilicé fue S. Lay, Analysis with introduction to proofs. Lógica e introducción a las pruebas son los primeros capítulos, probablemente los mejores de todo el libro (no me interesó especialmente la parte de "análisis"). Estoy seguro de que hay muchos otros libros similares y bien pero ese es el que me ayudó a empezar bien con Baby Rudin.

Answer 4

He hecho muchas horas de oficina, a lo largo del camino, sobre matemáticas, física y economía cuantitativa. Mis pensamientos:

1) Los estudiantes deben superar la "fobia a las matemáticas". Muchos estudiantes temen "equivocarse", porque eso se ve como un fracaso, un defecto de carácter (o más profundo), o lo que sea. Como las matemáticas tienen respuestas exactas, temen eso.

2) Más bien, tienen que ver que se trata de un "rompecabezas" que, al igual que un crucigrama, es entretenido (con suerte) o, al menos, no juzga. Mucha gente no termina los crucigramas, pero lo intenta y disfruta del proceso.

3) En todo, es importante darse cuenta de que la lucha es el viaje. Tuve un profesor que siempre decía a los alumnos "para un estudiante, la confusión es un estado de gracia".

Son vagos, pero en realidad es más psicológico que otra cosa, según mi experiencia. La gente no se siente tan estresada al intentar aprender a jugar al tenis o al golf, o al intentar escalar, etc.; saben que es un largo camino hasta la maestría, y que los primeros intentos son los más difíciles. Pero, con las matemáticas, se rinden, temiendo no tener nunca éxito.

He impartido gran parte de mi enseñanza de forma individual, y siempre pido al alumno que intente dar el siguiente paso y le ayudaré sin juzgarle (una red de seguridad), además de reforzarle cada vez que haga un movimiento en la dirección correcta (aunque en realidad sea incorrecto). Con el aprendizaje de un deporte obtienen su propia retroalimentación positiva, porque saben cuál es su objetivo: golpear la pelota, recta, durante más de 200 yardas. Y cuando golpean bien una pelota de golf (que saben si lo han hecho), aunque sea con poca frecuencia, es algo que aprehenden y con lo que se sienten bien.

Sin embargo, si tuviera que dar un gran consejo, que proviene de mucho tiempo como AT, es éste: no dejes que tu propio ego se interponga en el camino. Con demasiada frecuencia encuentro que el problema no es el estudiante sino el profesor. Todo el mundo sabe que tú sabes la respuesta. Pero, creo que el arte de enseñar es saber lo que el alumno no sabe ahora y que necesita saber después . Con demasiada frecuencia veo que una idea simple se convierte en una pregunta compleja que viola esto. Por ejemplo, los físicos son a menudo terribles en esto: mientras introducen las leyes de Newton, rápidamente pasan a problemas de una placa sin fricción sobre el hielo sujeta a una fuerza, con un objeto en esa placa sin fricción sujeto a otra fuerza, y quieren que el estudiante encuentre la posición del objeto sobre el hielo como una función del desplazamiento de la placa inferior... no es realmente útil.

Hay una historia quizás apócrifa de Einstein ayudando a un niño con el álgebra. Cuando el niño se quejó de que él (en realidad, creo que era ella) no podía resolver suficientes problemas, Einstein le respondió algo así como "si crees que tienes problemas para resolver la mayoría de los problemas, no te preocupes, te sorprendería ver la poca cantidad de problemas en los que trabajo que no puedo responder".

Answer 5

(Además de otras buenas respuestas, y haciéndome eco de algunas partes...) Creo que no es tanto que los estudiantes teman la confusión, sino que ven la confusión como un fracaso. No un fracaso en la comprensión (porque "entender" no es su objetivo), sino un fracaso en la configuración para obtener la nota que quieren (en muchos o la mayoría de los casos...)

A menos que podamos averiguar cómo recompensar a los estudiantes, en términos que puedan apreciar, por comprometerse lo suficiente como para estar confundidos, y luego trabajar en ello, no tendrán ninguna motivación para hacerlo o pensar de esa manera. El argumento de "es bueno para ti" tiene un impacto limitado, si no es manifiestamente/visiblemente útil, por su criterios (a menudo erróneos).

También hay un desafortunado trasfondo de un sistema de creencia de que la "formalización suficiente", también conocida como "un sistema suficiente de reglas", o el "estudio de la lógica de predicados de primer orden", eliminará la complicada y amorfa necesidad de pensar de una nueva manera, con una incómoda transición a esa nueva manera. En mi opinión, esto es (desgraciadamente) atractivo porque permite a los estudiantes mantener las matemáticas "externas" a ellos, excusándoles de pensar mucho en ellas. "Sólo hay que aprender las reglas", en lugar de "entender por qué las llamadas reglas pretenden ser una opción de codificación de aspectos de la realidad".

Y, en efecto, bastantes confusiones se refieren a convención en lugar de las matemáticas hecho . Por supuesto, pocas personas pueden intuir convención No importa lo razonable que sea. Estar confundido sobre las opciones de la convención está bien, y no merece mucha reflexión. Estar confundido sobre hechos por supuesto hace merecen una mayor reflexión. Ayudar a los estudiantes a distinguir los dos tipos de cuestiones es quizá una de nuestras principales tareas, creo.

Me atrevería a afirmar/observar que la "definición" épsilon-delta de "límite" es en sí misma sólo una posible convención que hace (más) preciso un sentido primitivo y coloquial de "límite". En particular, muchas de las características son cuestiones de convención, por lo que no se pueden "deducir", y este tipo de complicación merece un reconocimiento explícito.