La intersección no vacía siempre existe

Question

Consideremos una secuencia de conjuntos cerrados $A_n\subset \mathbb{R}$ tal que $A_{n+1}\subset A_n$ . Definir $$ A = \bigcap\limits_n A_n. $$ Si $A_1$ está acotado, entonces $A_n$ es compacto para todos los $n$ . Por lo tanto, si $A_n$ no están vacías para todos los $n$ entonces $A$ no está vacío.

Pero dado un espacio métrico $X$ podemos hacerla siempre compacta con, por ejemplo $$ \rho'(x,y) = \tan^{-1}\rho(x,y) $$ donde $\rho$ es una métrica original y $\rho'$ es uno nuevo. Además, este procedimiento preservará la cercanía de los conjuntos.

Esto significa que, independientemente de la compacidad de $A_1$ , si $A_n$ no están vacías para todos los $n$ entonces $A$ no está vacío?

Editado: Me gustaría formular la pregunta de forma más directa: si $A_1$ no está acotado sino que todo $A_n$ son cerrados y no vacíos, ¿significa que $A$ no está vacío?

Answer 1

En $\mathbb{R}^n$ con la métrica habitual, "compacto" es equivalente a "acotado y cerrado" (Heine-Borel-Lebesgue). Sin embargo, la equivalencia no se mantiene en espacios métricos arbitrarios.

La afirmación correcta para espacios métricos arbitrarios es:

Teorema :

Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico. Un subconjunto $S$ de $X$ es compacto si y sólo si es completa y totalmente acotado .

Recordemos que un conjunto $S$ es "completa" si cada secuencia de Cauchy en $S$ converge; y está "totalmente acotado" si para cada $\epsilon\gt 0$ existe un número finito de bolas abiertas de radio $\epsilon$ que cubren $S$ .

En $\mathbb{R}^n$ con la topología habitual, totalmente acotado y acotado son equivalentes, al igual que "completo" y "cerrado".

Sin embargo, por ejemplo, si se cambia la métrica a $d(x,y)=\arctan|x-y|$ entonces el espacio está acotado pero no totalmente. Entonces,

EDITAR

Para ver que $\mathbb{R}$ está acotada pero no totalmente bajo $d$ , tenga en cuenta que $0\leq\arctan|x-y|\lt\frac{\pi}{2}$ por lo que el espacio está acotado, contenido en la bola de radio $\frac{\pi}{2}$ centrado en $0$ . Para ver que $\mathbb{R}$ no está totalmente acotado bajo $d$ , elige $\epsilon\gt 0$ que es muy pequeño. Entonces $y\in B_d(x,\epsilon)$ si y sólo si $\arctan|x-y|\lt\epsilon$ si y sólo si $|x-y|\lt\tan(\epsilon)$ . Para $\epsilon$ muy cerca de $0$ tenemos $\tan(\epsilon)\approx\epsilon$ por lo que estas bolas son "esencialmente" del mismo tamaño que tendrían en la métrica euclidiana; para las bolas muy pequeñas $\epsilon\gt 0$ entonces, no puede cubrir $\mathbb{R}$ con un número finito de $\epsilon$ - $d$ -Bolas abiertas, así que $\mathbb{R}$ no está totalmente acotado bajo $d$ .

Así que no se puede hacer el conjunto cerrado $A_1$ compacto simplemente sustituyendo la métrica por una métrica equivalente-pero-acotada, porque este intercambio no respeta la propiedad de ser totalmente acotado .

Por ejemplo, en la métrica habitual en la que $A_k$ es y no vacío y cerrado para todo $k$ pero la intersección está vacía, sólo toma $A_n=[n,\infty)$ en $\mathbb{R}$ . Fácilmente generalizable a $\mathbb{R}^n$ con la métrica euclidiana.

Answer 2

Añado mi comentario como respuesta:

Un contraejemplo en $\mathbb R$ es $A_n=\langle n,\infty)$ .

Sin embargo, los conjuntos cerrados anidados tienen una intersección no vacía en un espacio compacto. Lo mismo ocurre en un espacio métrico completo si se añade la suposición de que el diámetro de $A_n$ tiende a 0.

El resultado para los espacios métricos completos suele llamarse teorema de intersección de Cantor. Véase wikipedia o wikilibros .

En los espacios compactos, todo sistema de conjuntos cerrados con propiedad de intersección finita tiene una intersección no vacía. De hecho, esta condición es equivalente a la compacidad.

Answer 3

Hay varias propiedades en juego aquí: La compacidad, la acotación y el ser cerrado. La compacidad y el carácter cerrado son propiedades topológicas. Esto significa que si dos métricas dan la misma colección de conjuntos abiertos (es decir, las métricas son "topológicamente equivalentes"), entonces también darán la misma colección de conjuntos cerrados (obvio) y la misma colección de conjuntos compactos. Sin embargo, la acotación no es una propiedad topológica, por ejemplo en el ejemplo que has puesto.

En todo espacio métrico, es cierto que un conjunto compacto es acotado y cerrado. Esto implica, por ejemplo, que si un conjunto es compacto respecto a una métrica, entonces está acotado respecto a cualquier métrica que sea topológicamente equivalente a él. Sin embargo, si un conjunto está acotado respecto a una métrica, esto no dice nada sobre la compacidad del conjunto respecto a cualquier métrica. De hecho, siempre se puede definir una nueva métrica equivalente que esté acotada, de la forma en que tú lo has hecho.

En $\mathbb{R}$ y más generalmente, en $\mathbb{R}^n$ (con la métrica habitual), la relación anterior también funciona al revés, es decir: un conjunto cerrado y acotado es compacto. El problema aquí es que para la mayoría de las métricas, y para la mayoría de los espacios métricos, esto ya no es cierto. Un espacio métrico para el que esto es cierto se dice que tiene la Propiedad de Heine-Borel . En cierto sentido, estas métricas son especialmente buenas, ya que a menudo es más fácil saber si un conjunto es cerrado y/o acotado que si es compacto. Por lo tanto, a menudo se desea hacer la frente a de lo que ha hecho: pasar de una métrica sin la propiedad HB a una métrica equivalente con la propiedad HB. Por desgracia, esto no siempre es posible: para algunos espacios métricos (que no tienen la propiedad HB), no existe ninguna otra métrica (topológicamente equivalente a la métrica original) que tenga la propiedad HB.

Answer 4

Dejemos que $A$ sea cualquier conjunto infinito, y definir una "distancia" en $A$ poniendo $d(x,y)=1$ si $x \ne y$ y $d(x,x)=0$ . Entonces todo subconjunto de $A$ es cerrado y acotado.

Sin embargo, $A$ no tiene ningún subconjunto compacto infinito. Y si $X$ es cualquier subconjunto infinito de $A$ se puede producir una secuencia anidada infinita $(X_i)$ de subconjuntos no vacíos de $X$ cuya intersección está vacía.