Un tipo de isomorfismo en $\mathbb{Z}^r$

Question

Deje $(x_1,\dots,x_r)$ ser un elemento no nulo de a $\mathbb{Z}^r$, y deje $h$, el mayor factor común de $x_1, \dots, x_r$. Demostrar que existe un isomorfismo $\mathbb{Z}^r \to \mathbb{Z}^r$ de los que tomaron $(x_1,\dots,x_r)$ $(1, 0, 0,\dots,0)$si y sólo si $h=1$.

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Una dirección que no es demasiado malo; si $\phi$ es un isomorfismo, entonces $$\phi\big((x_1,\dots,x_r)\big) = (1,0,\dots,0)$$ $$\phi\big(h(\tfrac{x_1}{h},\dots,\tfrac{x_r}{h})\big) = (1,0,\dots,0)$$ $$h \phi\big(\tfrac{x_1}{h},\dots,\tfrac{x_r}{h})\big) = (1,0,\dots,0).$$ Pero, a continuación,$h|1$, por lo que debemos tener $h=1$. Realmente no tengo idea de cómo ir sobre demostrando la otra dirección... así que cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Ir a través del Algoritmo euclidiano extendido para expresar $h$ como un combinantion lineal entero de $x_1,\ldots,x_r$. Trate el caso $r=2$ y ver cómo se reduce $(x_1,x_2)$ $(h,0)$.

Answer 2

Si hay un isomorfismo $h$asignación $(x_1,\dots,x_n)$ $(1,0,\dots,0)$, mapas de su inversa $h^{-1}$ $(1,0,\dots,0)$ $(x_1,\dots,x_n)$, y el % de matriz $A$de $h^{-1}$con respecto a la base canónica de % de $\mathbb Z^n$ $(x_1,\dots,x_n)$ como su primera columna tiene. Desde $A$ debe tener determinante $1$ $-1$, $\gcd$ de cada una de sus columnas es $1$.

Answer 3

Sea $H$ el subgrupo cíclico de $\mathbb{Z}^r$ de $(x_1,\ldots,x_r)$. Si $h=1$, entonces el $t(y_1,\ldots,y_r) = (x_1,\ldots,x_r)$ implica $t = \pm{1}$ y así $\mathbb{Z}^r/H$ es libre de torsión y por tanto libre abeliano. Así $H$ tiene un complemento en $\mathbb{Z}^r$, que debe ser isomorfo a $\mathbb{Z}^{r-1}$, y el resultado sigue fácilmente.