Situation de la vida real para una función implícita

Question

¿Cuál podría ser un ejemplo de una situación de la vida real para la cual pueda surgir una función implícita?
En la vida real, al trazar un valor contra el otro, ¿no sería el caso de que la función no esté definida implícitamente?

Esto se relaciona con la comprensión

¿Por qué la función siempre se diferencia con respecto a x? Los libros y toneladas de sitios solo nos permiten aplicar la regla. Pero, no he encontrado un solo recurso que explique por qué se diferencia la función implícita con respecto a x. No sé si es solo una convención.

Answer 1

En una "situación de la vida real" generalmente tienes un modelo que relaciona los valores de dos variables. Por ejemplo, el número $E$ de ingenieros de software buscando trabajo y el salario promedio $S$ ofrecido están relacionados. Cuando la industria está caliente, las empresas necesitan desarrolladores y pagan más para atraerlos. Cuando las escuelas gradúan más ingenieros de los que la industria necesita, los salarios iniciales son más bajos.

Un economista podría hacer dos tipos de preguntas:

• ¿Cómo afecta un aumento en $E$ a $S$?

• ¿Cómo afecta un aumento en $S$ a $E$?

Puedes responder a estas preguntas usando un gráfico con $E$ en un eje y $S$ en el otro. Si tienes una fórmula que modela $S$ como una función $f(E)$ entonces la derivada de $f$ con respecto a $E$ funciona para la primera pregunta. Para la segunda, necesitas la derivada implícita de $E$ con respecto a $S.

En general, en problemas de la vida real es posible que no tengas una variable particular que consideres como la variable independiente de la que dependan otras. Simplemente tienes relaciones entre variables.

Aquí tienes un ejemplo de una respuesta a una de tus preguntas de blender (https://blender.stackexchange.com/questions/56715/what-to-pay-attention-when-modelling-for-animation):

Necesitas considerar cómo se animará el modelo, piensa en el brazo siendo levantado y movido alrededor, piensa en extremos como balancearse desde un barra superior o hacer una patada alta, tu modelo necesita ser deformado por la armadura sin que los hombros o caderas se vean torcidos y parezcan antinaturales.

En este caso, las variables (dentro de blender) que describen la posición del hombro están relacionadas con las que describen la posición del brazo extendido. Tu animación hace pequeños cambios en el brazo como función de pequeños cambios en el parámetro de animación tiempo. Blender calcula cómo un pequeño cambio en el brazo cambia el hombro. Eso es esencialmente diferenciar implícitamente la función que relaciona las variables del hombro y el brazo. Es implícito porque no hay una fórmula tipo cálculo dentro de blender para diferenciar. El software calcula el cambio pequeño numéricamente. El análogo de cálculo sería mirar $\Delta(\text{hombro})/\Delta(\text{brazo})$ antes de tomar el límite de ese cociente de diferencias. Si quisieras modelar cómo cambia el brazo cuando mueves el hombro, simplemente usarías el recíproco de esa fracción.

Answer 2

La gran mayoría de los experimentos científicos pueden considerarse como la recolección de datos que siguen alguna relación implícita. ¿Qué quiero decir con esto? En un típico experimento científico, deseas probar o investigar un efecto, y tienes varios parámetros que crees pueden determinar algún efecto que pueda ser observado a través de cantidades medidas. Entonces lo que haces es configurar un ambiente controlado donde mantienes todo lo demás igual y simplemente cambias los parámetros, registrando cada vez las mediciones correspondientes. Una característica principal de una teoría científica es que puede verificarse reproduciendo los resultados experimentales que predice. Pero en realidad hay un inconveniente; el punto en el tiempo no puede ser reproducido, por lo tanto todo lo que un experimento puede proporcionar son mediciones en puntos distintos en el tiempo, y el tiempo termina siendo un parámetro también. Sin embargo, en muchos modelos asumimos que las leyes físicas son invariantes en el tiempo, y por lo tanto, basándonos en experimentos repetidos, podemos deducir alguna relación entre otras variables.

Otra forma común en la que surgen relaciones implícitas es en sistemas dinámicos en equilibrio. Esto se debe a que a menudo están regidos por ecuaciones de 'balance' que restringen el sistema, lo que naturalmente conduce a relaciones implícitas entre las variables relevantes.

Por ejemplo, considera un experimento de titulación donde medimos el pH de una solución en diferentes puntos de la titulación. Aquí podrías pensar que dado el analito y el titrante, y la cantidad inicial de analito, el único parámetro necesario para determinar el pH de la mezcla es la cantidad $x$ de titrante agregado. Entonces la curva que trazamos será el pH contra $x$:

Observa algo; el proceso de titulación real corresponde a moverse a lo largo de la curva mostrada. Pero en realidad no nos importa cómo, e de hecho, repetir la titulación muestra que la relación entre el pH y $x$ es independiente de cuánto tiempo esperemos entre cada paso de agregar más titrante. Por lo tanto, tenemos un ejemplo del primer tipo de relaciones implícitas que surgen al ignorar el parámetro del tiempo.

Además, incluso en el caso especial representado donde asumimos una disociación completa del base BOH, podemos demostrar matemáticamente bajo suposiciones estándar (balance de masas y de cargas y producto iónico del agua) que el pH no es una función simple de $x$. De hecho, resulta ser el logaritmo de la raíz positiva de alguna ecuación cúbica cuyos coeficientes son algunas funciones racionales de $x$. Así que incluso si ignoramos el tiempo y simplemente consideramos $x$ como la variable independiente y el pH $p$ como la variable dependiente, la relación entre $x$ y $p$ aún puede considerarse como una implícita de la forma $a(x)e^{3p}+b(x)e^{2p}+c(x)e^p+d(x)=0$ donde $a,b,c,d$ son funciones. Resulta que podemos resolver algebraicamente para $p$, pero no es importante. También podríamos estar interesados en qué tan rápido cambia el pH con respecto a $x$, en cuyo caso es fácil simplemente utilizar la derivada implícita para obtener la solución matemática!

Answer 3

Tienes una curva circular de la cual quieres conocer el diámetro. Tienes una rueda de medición para obtener la longitud del arco y un metro para obtener la cuerda. (Esta es una verdadera situación de la vida real en la gestión de carreteras.)

Entonces la geometría te dice que

$$\sin\frac ad=\frac cd.$$

Denotando lo desconocido $y:=a/d$ y la variable independiente $x:=c/a$, obtenemos la hermosa ecuación implícita

$$\sin y=xy.$$

Nota: podemos expresar la solución como

$$y=\text{sinc}^{-1}x$$ donde $\text{sinc}$ denota la función seno cardinal, pero su inversa no es aceptada como válida para una expresión en forma cerrada.

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Por lo general, $x$ denota una variable independiente y $y$ la dependiente. Por eso estás interesado en $dy/dx$ en lugar de en $dx/dy$, aunque estas dos derivadas son simplemente la inversa una de la otra.