¿Convergen lo esta serie, si acaso?

Question

$$\arctan{1} + \arctan{\frac{1}{2}} + \arctan{\frac{1}{3}} + \arctan{\frac{1}{4}} ...= ?$$

La serie infinita para arctan es

$$\arctan{x} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} ...$$

Así que quiero resumir la $\arctan{1\over n}$ donde $n$ comienza a $1$ y se extiende hacia el infinito.

Yo pensaba originalmente el resultado de la serie puede ser escrita de esta manera:

$$(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} ...) - \frac{(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} ...)^3}{3} + \frac{(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} ...)^5}{5} - \frac{(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} ...)^7}{7} ...$$

Pero eso está mal. La forma correcta de "insertar", la serie es:

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} ... - \frac{1}{3} - \frac{(\frac{1}{2})^3}{3} - \frac{(\frac{1}{3})^3}{3} ... + \frac{1}{5} + \frac{(\frac{1}{2})^5}{5} + \frac{(\frac{1}{3})^5}{5} ... ...$$

Por lo que se ve como un montón de armónica serieses manipulados. Serie armónica diverge, pero recuerdo que no necesariamente en una similar de la serie diverge. Recuerdo de Cálculo 2 que, por ejemplo, $\lim_{n\to\infty}$ $\sin(n)\over n$ converge a cero, aunque $\sin(n)$ no converge.

Entonces, ¿cómo puedo averiguar lo que esta serie converge para, si nada?

Answer 1

Tenemos

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\arctan(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}=1$$

Así desprende fácilmente por primera el cambio de variables $\frac{1}{n}=h$ entonces por la serie de Taylor.

También tenemos que $a_n=\arctan (\frac{1}{n}) \geq 0$ % todos $n \geq 1$. Por lo tanto, por la prueba de comparación de límite la serie $\sum_n a_n$ diverge con la comparación a la serie armónica.

Answer 2

Partiendo de esta respuesta (de la desigualdad de la arco tangente.), tenemos:

$$\frac{\arctan x}{x} \geq 1/2$$

$x \in (0,1]$.

Dejando así $x = \frac{1}{n}$, tenemos $\arctan \frac{1}{n} \geq \frac{1}{2n}$ cada $n\geq 1$, por la prueba de comparación, la serie diverge

Answer 3

Para $0 < x \leq 1$, el de la serie

$$ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} ... $$

es una corriente alterna de la serie con la disminución de los términos. Esto significa que los términos de la alternativa entre la superación y undershooting el valor real de $\arctan(x)$. En particular,

$$ 0 < x \leq 1 \implies x - \frac{x^3}{3} < \arctan(x) < x $$

Podemos utilizar esto para obtener un buen enlazado en las sumas parciales

$$ \sum_{k=1}^n \arctan\left( \frac{1}{k} \right) < \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = H_n$$

$$ \sum_{k=1}^n \arctan\left( \frac{1}{k} \right) > \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{3 k^3} \right) = H_n - \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{3 k^3} \right) > H_n - \frac{1}{3} \zeta(3)$$

Así que no solo la infinita suma de ir hasta el infinito, lo hace básicamente de la misma manera como la armónica de los números de $H_n$, y además el error de esta estimación es estrictamente menor que $0.4007$.

Answer 4

Parece aún no ha sido señalado que el cambio no funciona!

$\frac11 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \cdots = \ln(2) > \frac12$.

$\frac11 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \cdots \ne \color{red}{( \frac11 + \frac13 + \frac15 + \frac17 + \cdots ) - ( \frac12 + \frac14 + \frac16 + \frac18 \cdots )}$.   [RHS es mal definidos!]

$\frac11 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \cdots $

$\ \ne ( \frac11 - \frac12 - \frac14 + \frac15 + \frac17 - \frac18 - \cdots ) + \frac13 ( \frac11 - \frac12 - \frac14 + \frac15 + \frac17 - \frac18 - \cdots )$

$\ \quad + \frac1{3^2} ( \frac11 - \frac12 - \frac14 + \frac15 + \frac17 - \frac18 - \cdots ) + \frac1{3^3} ( \frac11 - \frac12 - \frac14 + \frac15 + \frac17 - \frac18 - \cdots ) + \cdots$

$\ = \frac12 \times ( \frac1{1 \times 2} - \frac1{4 \times 5} + \frac1{7 \times 8} - \cdots ) < \frac14$.