¿Cuáles son los enteros de $\textbf Q(\sqrt 2 + i)$?

Question

Dado $\{a, b, c, d, e\} \in \textbf Z$, me parece que cualquier número de la forma $$a + b i + c \sqrt{-2} + d \sqrt 2 + e (\sqrt 2 + i)$$ should be an algebraic integer in $\textbf Q(\sqrt 2 + i)$. But I doubt this is a complete characterization, there might be cases $\{a, b, c, d, e\}$ can be drawn from $\textbf Q\setminus\textbf Z$, o tal vez me haya pasado por alto algebraica de los números enteros por el que se multiplican los números enteros, tal vez ambas cosas.

La primera cosa que hice fue buscar en algún entero positivo poderes de $\sqrt 2 + i$, como $(\sqrt 2 + i)^5$ (yo también he leído entero negativo exponentes pero no estoy seguro de por qué, si algo, que debo hacer de ellos).

Entonces, pensando que $1 + \sqrt 2$ debe ser una unidad en este dominio, he comprobado que $$\frac{\sqrt 2 + i}{1 + \sqrt 2} = 2 - i - \sqrt 2 + \sqrt{-2},$$ $$\frac{\sqrt 2}{1 + \sqrt 2} = 2 - \sqrt 2,$$ $$\frac{i}{1 + \sqrt 2} = -i + \sqrt{-2}$$ and $$\frac{\sqrt{-2}}{1 + \sqrt 2} = 2i - \sqrt{-2}.$$

Reconozco que lo que he tratado puede ser insuficiente, o simplemente en el camino equivocado. Lo he pasado por alto, o lo que debería haber estado haciendo, para encontrar los enteros algebraicos de este dominio?

Answer 1

Tenga en cuenta que $F=\Bbb Q(\sqrt 2+i)\subseteq \Bbb Q(\sqrt 2, i)=\Bbb Q(\zeta_8)=K$ y que, de hecho, es igual a $K$ porque todos los cuatro no trivial de Galois elementos de la ley de la no-trivial en el generador de campo, $\sqrt 2+i$, lo $F$ no puede ser un adecuado subcampo de $K$ por el Teorema Fundamental de la Teoría de Galois. Pero entonces, dado que el campo es cyclotomic, sabemos que el anillo de enteros es sólo $\mathcal{O}_K=\Bbb Z[\zeta_8]$.

Tenga en cuenta que incluso desde el principio se puede ver que su respuesta no sea la correcta (o al menos no mínimamente correcta), porque ha $5$ elementos en una base, pero aún sin saberlo,$F=K$: desde $F\subseteq K$ tenemos $[F:\Bbb Q]\le [K:\Bbb Q]=4$ por lo que el anillo de enteros es en la mayoría de un rango-$4\;$ módulo a través de $\Bbb Z$.

---

Anexo

Por el op de seguimiento de la cuestión de si una versión diferente de sus candidatos de trabajo, observamos que las dos bases de un finitely generados gratis, $\Bbb Z$- módulo de diferir por un elemento de a $SL_n(\Bbb Z)$. En nuestro caso $n=4$ y su base de opciones candidato es $\{1, i,\sqrt 2,i\sqrt 2\}$. Hagamos una selección de $i$, de modo que $i=\zeta_8^2$ por la simplicidad ... esto es una formalidad, sólo para evitar específicos de incrustaciones en $\Bbb C$, si quieres decir $i=e^{i\pi /2}$ $\zeta_8=e^{i\pi/4}$ no cambia nada.

Luego me deja cambiar el orden de la nueva base candidato como $\{1, \sqrt 2, i, i\sqrt 2\}$ para la facilidad de la computación. A continuación, el uso de $\zeta_8^{-1}=\zeta_8^7=-\zeta_8^3$ la matriz se determina por

$$\begin{cases} 1\mapsto 1 \\ \zeta_8\mapsto \zeta_8+\zeta_8^{-1}=\zeta_8-\zeta_8^3 \\ \zeta_8^2\mapsto \zeta_8^2 \\ \zeta_8^3\mapsto i\sqrt 2 = \zeta_8^2(\zeta_8+\zeta_8^{-1})=\zeta_8^3+\zeta_8 \end{casos}$$

A continuación, la matriz está dada por

$$M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

que ha determinante $2$, por lo que su base es inadmisible, incluso, la eliminación de $e$.

Answer 2

Una pregunta que usted inmediatamente debe preguntarse es cuál es el campo $\mathbb{Q}(i+\sqrt{2})$; ¿demostrar que es igual a $\mathbb{Q}(i, \sqrt{2})$? Si por lo tanto, puede ignorar $i+\sqrt{2}$ y centrarse en $1, i, \sqrt{2},$ y $\sqrt{-2}$. Y sí, usted debe saber que $\sqrt{2}+1$ es una unidad; su inverso es $\sqrt{2}-1$.

Ahora la pregunta es Cuáles son los números enteros en $\mathbb{Q}(i, \sqrt{2})$. ¿Puede mostrar que $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{-2}}{2}$ es un entero? Si haces eso, entonces dicen que esto y $1, i, \sqrt{2}$ abarcan los enteros. ¿Conoces ningún método para demostrar que algunos números abarcan el conjunto de números enteros?

Answer 3

La respuesta ya ha sido dada, pero si no parece claro, es comprensible.

Por un lado, se ha sugerido que su incorrecta integral de la base, puede ser utilizada para encontrar la correcta. Conjunto $$c = d = \frac{1}{2},$$ zero out $a, b, e$, to obtain $$\frac{\sqrt{-2} + \sqrt{2}}{2}.$$ This number is special because it is a root of $x^8 - 1$, meaning it's an eighth root of $1$ (and for that reason frequently denoted as $\zeta_8$). But that's not its minimal polynomial $x^4 + 1$, which means the field is of degree $4$. Furthermore, as you've already discovered, $$\frac{\sqrt{-2} + \sqrt{2}}{2} = \sqrt{i}.$$

Un modo menos evidente indicio de que su base era incorrecta es que el literal coeficientes (recuerde que $a$ tiene un tácito literal coeficiente de $1$) no puede organizarse como una secuencia de poderes. Desde el LFMDB, puede derivar $a + b \sqrt{i} + ci + d (\sqrt{i})^3$ (obviamente $(\sqrt{i})^0 = 1$).

Supongo que en un nivel intelectual, es satisfactorio para mantener las cosas puramente algebraico. Pero si usted está interesado en el cómputo de las normas de los números y la verificación de que es una única factorización de dominio, ayuda a saber la correcta integral. Aunque me imagino que podría ser aún más eficiente manera de expresar que para los efectos del cómputo de las normas.