Tengo una función, $f$, la cual es continua en a $[a, a+h]$ y diferenciable en a $(a, a+h)$. Por el valor medio teorema, existe un $\theta \in (0,1)$ de manera tal que, $$f(a+h) - f(a) = h f'(a+\theta h)$$
Claramente, $\theta$ depende, generalmente,$h$. El objetivo es demostrar que, dado que el $f''(a)$ existe y es distinto de cero, $$\lim_{h \to 0} \theta = 1/2$$
Nota: el Uso de Taylor teorema esto no es demasiado difícil, sin embargo, como por el origen de la cuestión, no hay una solución que utiliza nada más que el significado teorema del valor (incluyendo Cauchy), de l'Hospital de la regla, y cualquier otra cosa que generalmente se considera más "básico" (por ejemplo, la definición de derivada, reglas de límites, etc.).
Edit: Si la pregunta no es muy clara, un ejemplo de un caso concreto de lo que tratan de demostrar que puede ser encontrado aquí (la última parte del post): http://www.stumblingrobot.com/2015/09/27/prove-an-alternate-expression-for-the-mean-value-formula/.
