¿Hay alguna serie cuya convergencia es desconocido?

Question

¿Hay alguna serie infinita sobre la que no sabemos si converge o no? O son la convergencia de pruebas exhaustivas, por lo que en las manos de un matemático competente de cualquiera de las series eventualmente será demostrado convergen o divergen?

EDIT: las Personas que tuvieron la amabilidad de señalar que sin la imposición de restricciones sobre los términos, es trivial encontrar "problema abierto" secuencias. Así que, para aclarar, lo que yo tenía en mente eran las secuencias cuyos términos se compone de "simple" de las funciones, el tipo que usted encontraría en un introductorios de cálculo de texto: exponencial, factorial, etc.

Answer 1

Se desconoce si $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3\sin^2n} $$ converge o no. La dificultad aquí es que la convergencia depende del plazo $n\sin n$ no ser demasiado pequeño, lo que a su vez depende de qué tan bien $\pi$ puede ser aproximada por los números racionales. Es posible que, si $\pi$ se puede aproximar `muy bien' lo suficientemente racionales, entonces esto va a divergir. Ver este MathOverflow pregunta para una discusión de esta serie en particular.

Otro aún más simple ejemplo de una secuencia (no suma), para la cual no se sabe si converge o no es $$ x_n=\frac{1}{n^2\sin n}. $$ Nos sería de esperar que esto tiende a cero, pero la prueba es más allá de lo que se conoce en la actualidad. Supongamos que sólo hay un número finito de números racionales $p/q$ $\vert p/q-\pi\vert\le q^{-3+\epsilon}$ (para cualquier $\epsilon > 0$), $x_n$ tendería a cero en la tasa de $O(n^{-\epsilon})$. Si, por otro lado, hay infinitamente muchos racionales satisfacer $\vert p/q-\pi\vert\le q^{-3-\epsilon}$, entonces una infinidad de $x_n$ sería de orden, al menos,$n^\epsilon$, por lo que diverge. Esto puede ser expresado en términos de la irracionalidad de la medida de $\pi$. La secuencia de $x_n$ converge a cero si la irracionalidad medida de $\pi$ es menor que 3, y diverge si es geater de 3. En la actualidad, el más conocido, con destino a la irracionalidad medida, es que no es más que acerca de $7.6063$ (ver el enlace a la mathworld página anterior). Se espera que la irracionalidad medida de $\pi$ es de 2 (se sabe que todos, pero un cero medir el conjunto de los números reales tiene la irracionalidad de medida 2). Por lo tanto, se espera que el $x_n$ tiende a cero, pero no existe actualmente ninguna prueba de esto.

Answer 2

Se desconoce si la serie: $\sum_n \frac{(-1)^n n}{p_n}$ converge. Aquí, $p_n$ $n$- ésimo número primo. Este problema se plantea en el Hombre, el libro de los problemas sin resolver en la teoría de números y estoy bastante seguro de que se originó a partir de Erdős.

Answer 3

Como una especie de broma respuesta, pero técnicamente correcta, y motivado por Chandru elimina respuesta, $$\sum_{n=0}^\infty \sin(2\pi n!\,x)$$ donde $x$ es el de Euler-Mascheroni constante, o casi cualquier otro número, cuya racionalidad no ha sido resuelta. (Si $x$ es racional, la serie converge. La implicación no van por otro camino.)