Minimización de una función cuadrática conforme a apremios cuadráticos

Question

Bueno, así que estoy tratando de minimizar la función

$$f(x,y, z) = x^2 + y^2 + z^2$$

sujeto a la restricción de

$$4x^2 + 2y^2 +z^2 = 4$$

He intentado solucionar mediante multiplicador de Lagrange método, pero fue incapaz de encontrar una $\lambda$ que el sistema es consistente.

$$2x = \lambda8x$$ $$2y = \lambda4y$$ $$2z = \lambda2z$$

¿No sería el caso de que la primera ecuación sugiere $\lambda = 1/4$, pero la segunda ecuación sugiere $\lambda = 1/2$? Estoy seguro de dónde ir de aquí, aunque he pasado el tiempo tratando de averiguar.

Intuitivamente, sé que debe ser el caso que el mínimo se produce en $(1,0,0)$ y es igual a $1$, pero no puedo mostrar esta utilizando el razonamiento matemático.

Answer 1

Sugerencia: La conclusión de que tus tres ecuaciones implican que no hay constante elección para $\lambda$ sólo se sostiene si $x$, $y$ y $z$ son cero! Si alguno de ellos es cero, entonces su ecuación correspondiente nos dice nada acerca de $\lambda$ desde lo trivial se cumple.

Así sabes que los puntos críticos son el formulario de $(x,0,0)$, $(0,y,0)$% y $(0,0,z)$. Hasta que usted Compruebe hacia fuera

Answer 2

Al resolver el sistema con el método de Lagrange, las variables se $x,y,z$$\lambda$.

Una solución del sistema es$$(x,y,z,\lambda)=(1,0,0,\frac{1}{4}),$$, que coincide con su solución intuitiva.

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Como alternativa, debido a $z^2=4-4x^2-2y^2$ no puede ser negativo (gracias @user35734!), es equivalente a minimizar $$f(x,y,z(x,y))=4-3x^2-y^2$$ sujeto a: $$ 4x^2+2y^2 \le 4 $$

Esta es una elíptica de dominio, y es fácil ver que el mínimo se alcanza en su frontera, por lo tanto, podemos sustituir las variables de $x$$y$$\cos t$${\sqrt{2}} \sin t$, respectivamente. El problema entonces se reduce a minimizar $$ f(x(t),y(t))=4-3\cos^2t - 2\sin^2 t $$ Estándar de cálculo de las técnicas de rendimiento $$ \min f = 1 $$

Answer 3

Para complementar las otras respuestas, buscamos los puntos de un elipsoide dado que son más cercanos al origen. Aquí es la trama de una esfera de radio $1$ tocar el elipsoide dado en $(\pm 1, 0, 0)$.

Answer 4

Puedo estar equivocado... traté de intuit este mínimo problema.

El nivel de las superficies de $f$ son esferas:

Cuanto mayor sea el valor de $f$, la más grande es la de una esfera.

La siguiente figura representa la restricción de que es un elipsoide:

Podemos obtener el valor mínimo de $f$ si tenemos en blow up (o disminuir) su nivel de esfera, de modo que es tangente al elipsoide desde el interior.

Si $z=0$, entonces la restricción del elipsoide se cruza con el $xy$ eje en una elipse cuya ecuación es

$$x^2+\frac{y^2}2=1.$$

Esta elipse se cruza con el $y$ eje $\sqrt 2$ y se intersecta con el $x$ eje $1$.

Si nos blow up (o disminuir) la esfera de modo que toque la elipse, a continuación, el nivel es $1$.

Es decir, el mínimo es de tomarse si $x^2+y^2+z^2=1$ y el mínimo es de $1$.

Vamos a ver la intersección de la elipse con el $xz$ plano. Esta es una elipse de nuevo y

$$x^2+\frac{z^2}4=1.$$

La esfera que pertenecen al nivel $1$ encaja bien de nuevo.

Esto es lo que vi: