¿Prueba "functorial" alternativa de Nielsen-Schreier?

Question

Hay dos pruebas de Nielsen-Schreier, que yo sepa. El teorema afirma que todo subgrupo de un grupo libre es libre. La primera prueba de los usos de la topología y de cubrir el espacio de la teoría y es bastante elegante. El segundo utiliza las técnicas combinatorias en un grupo libre de palabras, sin relaciones.

Hay más prueba algebraica que de alguna manera sólo utiliza la característica universal de la libre grupos y tal vez otras propiedades de los grupos que se han demostrado más "algebraica"?

Estoy interesado porque los grupos se definen puramente algebraica por medio de ecuaciones, y algunas pruebas de que un subgrupo de un libre abelian grupo es libre de abelian mucho más algebraicas sabor. Así que tal vez hay alguna prueba de Nielsen-Schreier, que también tiene un más algebraicas sabor?

Idealmente me gustaría una prueba de que no involucran propiedades combinatorias de un grupo de palabras en los generadores; en otras palabras, preferentemente, con los hechos de la combinatoria, teoría de grupos.

Answer 1

Así que la pregunta puede ser marcado como respondido...

Creo que no puede haber un "puramente functorial" la prueba de que un subgrupo de un grupo libre es libre (es decir, una prueba utilizando sólo la característica universal de la libre grupo). Si hubiera una prueba, sería natural esperar que pueda ser aplicado a trabajar por la relativamente libre de grupos en cualquier variedad de grupos. Pero las únicas variedades de los grupos en que los subgrupos de libre grupos son siempre libres son la variedad de todos los grupos, la variedad de todos los abelian grupos, y las variedades de abelian grupos de máximo exponente. Así que este sostiene fuertemente en contra de la existencia de dicha prueba.

Mientras estoy escribiendo esto como una respuesta, voy a notar que el nombre técnico de dichas variedades es Schreier variedades. Es decir, una variedad $\mathfrak{V}$ de álgebras (en el sentido de álgebra universal) se dice que es un Schreier variedad si y sólo si cada subalgebra de una $\mathfrak{V}$-álgebra es en sí mismo un libre $\mathfrak{V}$-álgebra. La prueba de que la única Schreier variedades de los grupos son los de la lista anterior se debe a Peter Neumann y James Wiegold en Schreier variedades de los grupos, de las Matemáticas. Z. 85 (1964) 392-400. Una alternativa de la prueba fue dada por Peter Neumann y Mike Newman, En Schreier variedades de los grupos, de las Matemáticas. Z. 98 (1967) 196-199.

Una prueba puede también ser encontrado en Hanna Neumann libro las Variedades de los Grupos, en la sección 4.3.

Answer 2

Recientemente ha surgido una puramente algebraica de la prueba (reclamación del autor) empleando el diagrama de perseguir de algunos de la corona del producto functorial propiedades. Por los autores de Ribes, L.; Steinberg, B. bajo el título: "Una corona de producto enfoque clásico subgrupo teoremas". Enseign. De matemáticas. (2) 56 (2010), no. 1-2, 49-72., también disponible en el arXiv: Ribes, L.. Efectivamente el uso universal de la definición de la propiedad y son capaces de demostrar la Kurosh del Subgrupo Teorema así.

Answer 3

Hay una expresión algebraica de la versión de la topológicos de la prueba utilizando cubriendo morfismos de groupoids, debido a Felipe Higgins,

Higgins, P.~J. `Presentaciones de groupoids, con aplicaciones a grupos". Proc. Cambridge Muerte. Soc. 60 (1964) 7--20.

y el descargable

Higgins, P. J. Notas sobre las categorías y groupoids, Estudios Matemáticos, Volumen 32. Van Nostrand Reinhold Co. Londres (1971); Reimpresiones en la Teoría y las Aplicaciones de Categorías, Nº 7 (2005) pp 1--195.

Él utiliza la solución del problema de palabras gratis groupoids, aunque creo que esto puede ser evitado mediante el uso de la (functorial) el hecho de que si $p:G \to H$ es una cubierta de morfismos (en realidad fibration es suficiente) de groupoids, entonces el pullback functor $p^*: Gpds/H \to Gpds/G$ tiene un derecho adjuntos y así conserva colimits. Este resultado tiene otras aplicaciones.

Además, el 27 de enero de 2014: Por el último párrafo, ahora puedo remito a mi respuesta a este mathoverflow pregunta. El punto es que un subgrupo $H$ de un grupo de $G$ define una cubierta de morfismos de groupoids $p:Tr(G,H) \to G$ donde la primera groupoid es la acción groupoid de $G$ en los cosets de $H$. De modo que el vértice grupos de $Tr(G,H)$ son todos isomorfo a $H$. Usted puede utilizar el colimit la preservación de las propiedades de $p_*$ como se describe en la respuesta a demostrar que si $G$ es un grupo libre, a continuación, $Tr(G,H)$ es un servicio gratuito de groupoid. También está conectada (= transitiva). Así que elegir un máximo de árbol muestra que cualquiera de sus grupos de vértices son libres de grupos. Lo que se llama un Schreier transversal es sólo un máximo de un árbol en el groupoid $Tr(G,H)$.