Relación entre diferentes definiciones del grado en geometría compleja

Question

Considerar un mapa de holomoprhic de una superficie de Riemann $$ f: \Sigma_g \to \mathbb{CP}^n. $ $ esto es dada por algunos polinomios homogéneos en algunas variables.

¿Cómo podemos mostrar que el grado homogéneo $d$ de estos polinomios coincida con la definición de grado de la clase fundamental de homología, es decir $d = f_* ([\Sigma_g]) \in H_2(\mathbb{CP}^n;\mathbb{Z})$?

Answer 1

Me deja cambiar el nombre de $C=\Sigma_g$, como el género es lo de menos aquí. Para dar un mapa de una suave curva proyectiva compleja $C$ $\mathbb P^n$ es lo mismo que dar una línea paquete $L$ $C$. Este paquete de línea puede ser recuperado hasta isomorfismo como $$L=f^\ast(\mathscr O_{\mathbb P^n}(1))=g^\ast(\mathscr O_{\mathbb P^n}(1)|_D),$$ where I have denoted by $g $ the same map $f $, but restricted to the image $D = f (C) $; in other words we factor $f # $ como sigue: %#% $ $$C\overset{g}{\longrightarrow}D\hookrightarrow\mathbb P^n.$ #%, el ciclo de una $\mathbb P^n$ tiene grado %#% $ de #% por otro lado, el grado de los polinomios definición de $f_\ast[C]$ es el grado de $$\deg f_\ast[C]=\deg g_\ast[C]=(\deg g)\cdot(\deg D).$, que es $f$ $