entre Borel $\sigma$ álgebra y Lebesgue $\sigma$ álgebra, ¿hay alguna otra $\sigma$ ¿Álgebra?

Question

¿Existe alguna $\sigma$ -que está estrictamente entre el Borel $\sigma$ -y el álgebra de Lebesgue $\sigma$ -¿Álgebra?

¿Qué tal no entre los dos, sino en general, hay algún otro $\sigma$ ¿Álgebra(s)?

¿Qué se puede concluir sobre la medida también, por ejemplo, es la medida de Lebesgue la única medida para Lebesgue $\sigma$ ¿Álgebra?

Answer 1

Primera pregunta (título): Claro. No es difícil demostrar que los conjuntos de la forma $B \cup S$ , donde $B$ es Borel y $S$ es un subconjunto del conjunto de Cantor constituye un $\sigma$ -Álgebra. Hay $2^{\mathfrak{c}}$ subconjuntos del conjunto de Cantor pero sólo $\mathfrak{c}$ conjuntos de Borel, por lo que este $\sigma$ -se encuentra estrictamente entre los conjuntos de Borel y los conjuntos medibles de Lebesgue.

Es muy raro que no haya $\sigma$ -de la álgebra estrictamente entre dos $\sigma$ -significa esencialmente que hay átomos (conjuntos que no pueden escribirse de forma no trivial como unión de subconjuntos propios.

No estoy seguro de entender la última pregunta. Puedes tomar, por ejemplo, la medida de Lebesgue más una medida de Dirac si quieres algo estrictamente diferente (es decir, que no esté relacionado vía Radon-Nikodym).

Answer 2

Su primera pregunta ha sido respondida por Theo Buehler; para su segunda pregunta, siempre puede tomar $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ como $\sigma$ -un ejemplo no trivial es la $\sigma$ -de todos los subconjuntos de $\mathbb{R}$ que son contables o co-contables (es decir, todos los $X$ para los que $|X|\leq\aleph_0$ o $|\mathbb{R}-X|\leq\aleph_0$ es sencillo comprobar que se trata de una $\sigma$ -álgebra).

Para tu última pregunta: si no pones ninguna restricción a la medida, la respuesta es trivial: sí, hay otras medidas. Para un ejemplo trivial, basta con escalar la medida de Lebesgue por un factor distinto de $1$ .

Más generalmente, dada una función positiva medible $f$ definan la medida $\mu$ en los conjuntos medibles de Lebesgue por $\mu(X) = \int_X f d\lambda = \int f\chi_X d\lambda$ , donde $\lambda$ es la medida de Lebesgue y $\chi_X$ es la función característica de $X$ . Esta es una medida:

1. Si $X$ es cualquier conjunto medible, entonces $\mu(X) = \int_X f\,d\lambda \geq 0$ porque $f(x)\geq 0$ para todos $x$ Así que $\mu$ no es negativo.

2. Si $\{E_i\}$ es una colección contable de conjuntos disjuntos por pares, entonces $$\mu(\cup E_i) = \int_{\cup E_i}f\,d\lambda = \sum_{i=1}^{\infty} \int _{E_i} f\,d\lambda = \sum_{i=1}^{\infty}\mu(E_i)$$ (con medidas y suma posiblemente infinita); y

3. $\mu(\emptyset) = \int_{\emptyset}f\,d\lambda = 0$ .

Así, $\mu$ es una medida sobre el Lebesgue $\sigma$ -álgebra; a menos que $f(x)=1$ para casi todos los $x$ , usted tiene $\mu\neq\lambda$ . Incluso puede ser un finito medida, si $f\in\mathcal{L}^1$ .