Para demostrar la existencia de $\aleph_1$ utilizamos el concepto de Hartogs número. La pregunta es, realmente, ¿por qué hay innumerables ordinales, ya que $\aleph_1$ es, por definición, al menos ordinal que no es contable.
Tomar un conjunto de cardinalidad $\aleph_0$, decir $\omega$. Ahora considere todos los pedidos en $\omega$, que son órdenes, y considerar el orden de isomorfismo como una relación de equivalencia. La colección de todas las clases de equivalencia es un conjunto.
Hecho: Si $(A,R)$ es un conjunto ordenado, entonces existe un único ordinal $\alpha$ tal que $(A,R)\cong(\alpha,\in)$.
Mapa de cada clase de equivalencia a la única ordinal que es isomorfo a los miembros de la clase. Ahora tenemos un conjunto y todos sus miembros son ordinales, que corresponden a posibles buen orden de $\omega$.
Hecho: La unión de un conjunto de ordinales es un ordinal, de hecho, es el supremum de los elementos de la unión.
Deje $\alpha$ ser la unión de un conjunto definido anteriormente. Tenemos que $\alpha$ es un ordinal, y que cada ordinal por debajo de $\alpha$ es un posible buen orden de $\omega$ (y por lo tanto contables).
Supongamos $\alpha$ fue contables, $\alpha+1$ también fue contables (desde $\alpha+1=\alpha\cup\{\alpha\}$), y por lo tanto una posible también que el pedido de $\omega$. Esto estaría en contradicción con el hecho de que por encima de $\alpha$ es mayor o igual que todos los ordinales que corresponden a los órdenes de $\omega$, ya que el $\alpha<\alpha+1$.
Esto significa que $\alpha$ es incontable, y que es la primera innumerables ordinal, ya que si $\beta<\alpha$ $\beta$ puede ser inyectado en la $\omega$, y lo que es contable. Por lo tanto, tenemos que $\alpha=\omega_1=\aleph_1$.
Tenga en cuenta que el anterior no requiere el axioma de elección y la retiene en $\sf ZF$. La colección de todas las órdenes es un juego por el juego de poder y de reemplazo, por lo que es el conjunto de clases de equivalencia, de ahí que la colección de los números ordinales se define también es un conjunto (sustitución de nuevo), y, finalmente, $\alpha$ existe por el axioma de la unión. También hubo uso del axioma de elección, porque la única opción que teníamos que hacer era de "un único ordinal", que es una definibles por el mapa (lo que podemos decir cuando dos órdenes son isomorfos, y cuando un conjunto es un ordinal - sin el axioma de elección).
Con el axioma de elección, esto puede ser incluso más fácil:
Desde el axioma de elección sabemos que la continuidad es bijectible con algunos ordinal. Deje que este tipo de orden se $\alpha$, ahora desde los ordinales son bien ordenados existe alguna $\beta\le\alpha$ que es la menos ordinal que no puede ser inyectado en $\omega$ (que es que no hay una función cuyo dominio es $\beta$, su rango es de $\omega$ e esta función es inyectiva).
A partir de aquí, el mismo argumento que antes, ya que $\gamma<\beta$ implica $\gamma$ es contable, $\beta$ es el primer innumerables ordinal, que es $\omega_1$.
En cuanto a por qué no hay cardenales estrictamente entre el $\aleph_0$ $\aleph_1$ (y entre cualquiera de dos días consecutivos de $\aleph$-números) también se deriva de esta definición.
- $\aleph_0 = |\omega|$, la cardinalidad de los números naturales,
- $\aleph_{\alpha+1} = |\omega_{\alpha+1}|$, la cardinalidad de la menos el número ordinal que no bijected con $\omega_\alpha$,
- $\aleph_{\beta} = \bigcup_{\alpha<\beta}\aleph_\alpha$, en el límite de puntos acaba de tomar el supremum.
Esta es una función de los ordinales a los cardenales, y esta función es estrictamente creciente y continua. Su resultado es bien ordenado, es decir, linealmente ordenado, y cada subconjunto tiene un mínimo elemento.
Esto implica que $\aleph_1$ es el primer $\aleph$ cardenal por encima de $\aleph_0$, es decir, no hay otros entre ellos.
Sin el axioma de elección, sin embargo, no son los cardenales que no $\aleph$-los números, y es consistente con $\sf ZF$ que $2^{\aleph_0}$ no es un $\aleph$ número, y todavía no hay cardenales estrictamente entre el $\aleph_0$ $2^{\aleph_0}$ - que es $\aleph_0$ tiene dos distintas inmediato sucesor cardenales.
Para la segunda pregunta, no hay ningún límite real. Dentro de los confines de un modelo específico, el continuum es una constante, sin embargo el uso de forzar podemos hacer saltar el continuum a ser tan grande como queramos.
Esta es la obra de Paul Cohen. Él demostró que se puede agregar a $\omega_2$ muchos subconjuntos de a $\omega$ (que es $\aleph_2\le 2^{\aleph_0}$), y la prueba es muy simple para generalizar a cualquier superior cardenal.
De hecho Easton teorema muestra que si $F$ es una función definida en regular los cardenales, que tiene un muy limitado conjunto de restricciones, entonces hay una forzando la extensión donde se $F(\kappa) = 2^\kappa$, por lo que no solo violan $\sf CH$ pero nos violan $\sf GCH$ ($2^{\aleph_\alpha}=\aleph_{\alpha+1}$) en un muy agudo manera.
