Monomorfismos no inyectivos

Question

Estoy leyendo Borceux, vol. 1, encontré este ejemplo en la página 27:

consideramos la categoría cuyos objetos son los pares $\langle X,x\rangle$ donde $X$ es un espacio topológico y $x$ un punto de $X$ (punto base). En esta categoría, un morfismo $f:\langle X,x\rangle\longrightarrow\langle Y,y\rangle$ es una aplicación continua $f:X\longrightarrow Y$ que preserva los puntos base. Consideremos la proyección $\pi$ del helicoide circular $\mathcal{H}$ en el círculo $\mathcal{S}^1$, $$\pi:\langle \mathcal{H},h\rangle\longrightarrow\langle\mathcal{S}^1,s\rangle$$

con $h\in\mathcal{H}$ y $s=\pi(h)$. Si $f:\langle X,x\rangle\longrightarrow\langle\mathcal{S}^1,s\rangle$ es un morfismo en nuestra categoría que admite un levantamiento $$g:\langle X,x\rangle\longrightarrow\langle\mathcal{H},h\rangle$$ a través de la proyección $\pi$, ese levantamiento es necesariamente único (ver Spanier, pag 67), y así $\pi$ es un monomorfismo (no inyectivo)...

Esto está bastante claro para mí, excepto por un solo detalle: ¿por qué necesitamos considerar puntos base (y morfismos que los preservan)? ¿Hay algún problema si simplemente consideramos la categoría $\operatorname{\mathbf{Top}}$ de espacios topológicos y aplicaciones continuas?

Answer 1

El ejemplo de Borceux es incorrecto. Aquí hay una observación general.

Sea $(C, U : C \to \text{Set})$ una categoría concreta tal que el funtor olvidadizo $U$ a conjuntos tenga un adjunto izquierdo. Entonces los monomorfismos son inyectivos (lo que significa que $U$ preserva los monomorfismos).

Esto cubre la mayoría de ejemplos familiares de categorías concretas, incluyendo espacios topológicos, grupos, anillos, etc. ¡En particular, incluye espacios topológicos basados! Aquí el adjunto izquierdo lleva un conjunto $X$ al espacio puntual dado por $X$ con la topología discreta más un nuevo punto base.

Puedes usar esto para mostrar que el mapa de Borceux, que corresponde al mapa exponencial $\exp : (\mathbb{R}, 0) \to (S^1, 1)$, no es un monomorfismo. Si dejamos que $2 = 1 + 1$ sea un punto y un punto base, entonces el mapa $2 \to S^1$ enviando todo al punto base tiene varias elevaciones, dadas por enviar el elemento que no es el punto base a cualquier elevación del punto base en $\mathbb{R$.

Este ejemplo se puede corregir restringiéndose aún más a la categoría de espacios basados conexos por camino (y tal vez localmente conexos por camino, para estar seguros); en esta categoría cualquier mapa recubridor es un monomorfismo porque en realidad la elevación única se cumple aquí. Aquí el funtor olvidadizo ya no tiene un adjunto izquierdo, por lo que lo anterior ya no aplica.