Un $\mathbb R$-mapa lineal que es también el $\mathbb C$-lineal

Question

Supongamos que $T : \mathbb C^2 \to \mathbb C^2$ es un mapa linear de la $\mathbb R$. $T(1,0) = (1,0)$, $T(0,1)=(0,1)$ y $T$ $\mathbb C$-subespacios de $\mathbb C^2$ a $\mathbb C$-subespacios de $\mathbb C^2$. ¿Qué es $T$?

Mi intento: primero puedo mostrar que $T$ es un sobreyectiva $R$ lineal, mapa así una biyectiva $R$ lineal. Y sé que $T$ mapas $(i,0)$ $(k,0)$ $k$ Dónde está un número complejo distinto de cero, pero supongo que debe ser $k$ $(i,0)$ o $(-i,0)$. No sé cómo probarlo.

Answer 1

es de $C^2$ $4$-espacio verdadero dimensional del vector con base $(1,0), (i,0), (0,1), (0,i)$ $T(1,0)C=(1,0)C$ tienes $T(i,0)=(a,0)$ $a\in C$, también tienes $T(0,i)=(0,b), b\in C$.

Tienes $T(1,1)=(1,1)$ % que $T((1,1)C)=(1,1)C$, por lo que tiene $T(i,i)=(c,c)=T(i,0)+T(0,i)=(a,b)$ resultados $a=b=c$.

$T(i,1)=T(i,0)+T(0,1)=(a,1)$, $T(-1,i)=T(-1,0)+T(0,i)=(-1,a)$ desde $i(i,1)=(-1,i)$ deducimos que existe un número complejo $d$ tal que $d(a,1)=(-1,a)$ $da=-1, d=a$ y $a^2=-1$ esto implica $a=i$ o $a=-i$.

Answer 2

Como usted dice, hay algunos distinto de cero $k$ tal que $T(i,0)=(k,0)$, y es igualmente un valor distinto de cero $\ell$ tal que $T(0,i)=(0,\ell)$. Pero hasta ahora sólo han utilizado algunos de los complejos subespacios; hay mucho más que usted puede utilizar. Para cualquier $z=x+iy\in\mathbb{C}$, se puede considerar que el complejo lapso de $(1,z)$; $T$ debe enviar esto a un complejo de subespacio. Desde $T(1,z)=(1,x+\ell y)$, esto significa que $T(i,iz)$ debe ser un complejo de varias de $(1,x+\ell y)$. Vea lo que usted puede aprender de esto.

Los detalles de cómo terminar de aquí están ocultos a continuación.

Desde $T(i,iz)=T(i,-y+ix)=(k,-y+\ell x),$ este es un complejo de varias de $(1,\ell)$ fib $-y+\ell x=k(x+\ell y)$. Ya que esta debe mantener para arbitrario $x,y\in \mathbb{R}$, debemos tener $\ell=k$$k\ell=-1$. Es decir, o $k=\ell=i$ o $k=\ell=-i$. En el primer caso $T$ es la identidad, y en el segundo caso $T$ es compleja conjugación en cada coordenada. Se puede comprobar que ambos de estos preservar complejo subespacios, por lo que ambas son posibles.