Descomposición rápida de fracciones parciales

Question

Estoy estudiando las transformaciones de Laplace para mi clase de ecuaciones diferenciales y típicamente hay una descomposición de fracción parcial involucrada, que puede ser muy larga y exigente para los cálculos a mano, si se hace el estándar manera.

Soy consciente de algunos de los trucos utilizados para acelerar este procedimiento (como el uso de límites en el infinito, o la multiplicación con denominadores y la toma de valores particulares de $s$ ), pero no puedo aplicarlos en este ejemplo:

$$\frac {s} {(s^2+2s+5)(s^2+4)} = \frac {\alpha s + \beta} {s^2+2s+5} + \frac {\gamma s + \delta} {s^2+4}$$

Por ejemplo, si intento extraer una relación para $\gamma$ y $\delta$ multiplicando por $s^2+4$ y tomando $s=2i$ Si me encuentro con una ecuación que involucra números complejos, siento que no he ganado mucho en términos de número de operaciones.

¿Hay algo mejor trucos para este ejemplo?

Answer 1

Apliquemos la Encubrimiento de Heaviside método, versión no lineal, como la descrita por Bill Dubuque.

$$\rm \frac{x}{(x^2\!+2x+5)(x^2\!+4)} \ =\ \frac{ax+b}{x^2\!+2x+5}\, +\ \frac{cx+d}{x^2\!+4}$$

Al despejar los denominadores se obtiene

$$\rm x\, =\, (x^2\!+4)(ax+b)\, +\, (x^2\!+2x+5)(cx+d) $$

Evaluación de este mod $\rm\ x^2\! +\! 4\,\: $ es decir $\:$ aplicando iterativamente la regla de reescritura $\rm\ x^2 \to -4\,\ $ produce

$$\rm x\, =\, (c\!+\!2d)\ x\,+\, d\!-\!8c\ \ \Rightarrow\ \ c = 1/17,\,\ d= 8/17$$

Evaluar el mod $\rm\ x^2\! +\! 2x\!+\!5\:,\: $ es decir $\:$ aplicando iterativamente la regla de reescritura $\rm\ x^2 \to -2x\!-\!5\: $ produce

$$\rm x\, =\, (3a\!-\!2b)\ x \,+\, 10a\!-\!b\ \ \Rightarrow\ \ a = -1/17,\,\ b = -10/17$$

Eso me parece bastante fácil.

Answer 2

Lo siguiente es ciertamente un truco. Queda por decidir si es mejor o no....

En primer lugar, quiero que los factores del denominador sean simétricos con respecto al origen (ahora mismo son de la forma $s^2+4$ y $(s+1)^2+4$ por lo que es simétrico con respecto a $1/2$ ). Por lo tanto, el ajuste $s=t-1/2$ tenemos el problema equivalente de hacer fracciones parciales en $$ \frac{16 t-8}{(4 t^2-4t+17)(4 t^2+4t+17)}. $$

Empecemos por observar (utilizando la simetría) que $$ \frac{1}{4 t^2-4t+17} - \frac{1}{4 t^2+4t+17} = \frac{8t}{(4 t^2-4t+17)(4 t^2+4t+17)}. $$ ¿Cómo podemos dividir todo lo que está a la vista por $t$ ? Obsérvese que la inversa de $t$ modulo $4t^2-4t+17$ es $(-4t+4)/17$ mientras que la inversa de $t$ modulo $4t^2+4t+17$ es $(-4t-4)/17$ . Así que obtenemos \begin {align*} \frac {8}{(4 t^2-4t+17)(4 t^2+4t+17)} &= \frac {1/t}{4 t^2-4t+17} - \frac {1/t}{4 t^2+4t+17} \\ & \equiv \frac {-4t+4}{17(4 t^2-4t+17)} + \frac {4t+4}{17(4 t^2+4t+17)} \pmod1. \end {align*} Pero esta (mod 1)-equivalencia debe ser en realidad una igualdad(!): por la teoría de las fracciones parciales, el lado izquierdo (cuyo numerador tiene mayor grado que el denominador) tiene una representación en la forma del lado derecho.

Entre las dos últimas identidades, vemos que $$ \frac{16 t-8}{(4 t^2-4t+17)(4 t^2+4t+17)} = \frac{42 t+30}{17 (4 t^2-4 t+17)}-\frac{4t+38}{17 (4 t^2+4 t+17)}; $$ ahora enchufando $t=s+1/2$ volver a los rendimientos $$ \frac s{(s^2+2s+5)(s^2+4)} = \frac{-s-10}{17 (s^2+2 s+5)}+\frac{s+8}{17 (s^2+4)}. $$

Answer 3

Sé que esta es una respuesta tardía pero pensé que sería útil. En primer lugar, se puede utilizar el método de encubrimiento mediante la introducción de $x=2i$ . Acabas consiguiendo $$\frac{(2i+8)}{17}= C(2i)+D\implies \frac{2i}{17}= C(2i) \implies C=\frac1{17}\text{ and }D=\frac8{17}.$$ Así de fácil. Para conseguir $A$ y $B$ Utilizar la cubierta con $x= -1+2i$ que es una de las raíces complejas de $x^2+2x+5$ . Así que $$\frac{-1+2i}{(-1+2i)^2+4} = A(-1+2i)+B \implies \frac{-1+2i}{1-4i}= A(-1+2i)+B.$$ Por último, multiplique por el conjugado y obtendrá $$\frac{(-1+2i)(1+4i)}{17}= A(-1+2i)+B\implies\frac{-9-2i}{17}= B-A+2iA \implies -\frac2{17}=2iA \implies A=-\frac1{17}$$ y así $B-A= -\frac9{17}\implies B= -\frac1{17}-\frac9{17}=-\frac{10}{17}$ . Por lo tanto, $A=-\frac1{17}$ y $B=-\frac{10}{17}$ .