¿Podemos convertir un grupo abeliano en un anillo definiendo la multiplicación sólo en un conjunto generador?

Question

Supongamos que tenemos un grupo abeliano $(G,+)$ que es generado por algún conjunto $A\subseteq G$ . Supongamos que podemos definir una operación binaria $\ast$ en $A$ es decir $$\ast:A\times A\to A,\quad (a,b)\mapsto a\ast b,$$ tal que $\ast$ es conmutativa, asociativa y tal que existe un elemento $1\in A$ con la propiedad de que $1\ast a=a$ , $\forall a\in A$ .

¿Podemos hacer siempre $G$ en un anillo $(G,+,\ast)$ ¿sólo "imponiendo" las leyes de distributividad? Es decir, sólo definimos, por ejemplo, $a\ast(b+c):=a\ast b+a\ast c$ para $a,b,c\in A$ y así sucesivamente. ¿Está esto siempre bien definido? Si no es así, ¿qué tenemos que comprobar para decir que está bien definido? ¿Existen propiedades adicionales que $\ast$ tiene que satisfacer?

Answer 1

Si $G = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ con generadores $1$ y $a$ de orden infinito y $b$ de orden 2, definir $\ast$ por $a \ast a = a \ast b = b \ast b = a$ y $1 \ast a = a$ , $1 \ast b = b$ , $1 \ast 1 = 1$ . Esto es asociativo y conmutativo con 1, pero:

$a \ast (b + b) = a \ast b + a \ast b = a + a = 2a \neq 0$

Pero $b + b = 0$ , por lo que tendríamos que tener $a \ast (b + b) = 0$ .

Si $G$ es generado libremente por $A$ Sin embargo, parece que sí funciona.

Answer 2

Si, en lugar de "hacer $G$ en un anillo" como pides, te conformas con "construir un anillo que contenga $G$ ", puede buscar en el anillo de grupo concepto. Sin embargo, en lugar de dar la adición del anillo, $G$ dará la multiplicación del anillo escribiendo $G$ de forma multiplicativa y extendiéndose de forma lineal.

El resultado es que esto funciona para todos los grupos, en lugar de sólo los grupos que son libres sobre el conjunto generador.

Answer 3

La respuesta corta es: posiblemente, pero se necesita un supuesto adicional para garantizar que funcione.

Has identificado una operación binaria asociativa $*$ en el plató $A$ con respecto a la cual $A$ es cerrado y tiene un elemento de identidad. Otra forma de decir esto es que $(A,*)$ es un monoide .

Ahora, al mismo tiempo, su grupo $(G,+)$ se compone de un número finito de $\mathbb{Z}$ -combinaciones lineales de elementos de $A$ , es decir Cada $g \in G$ puede escribirse como una suma $g = \sum_{a \in A}z_a a$ donde $z_a \in \mathbb{Z}$ para todos $a \in A$ . Dado un segundo elemento $g' = \sum_{a \in A}z_a' a$ de $G$ , se quiere definir el producto $g*g'$ de manera que sea compatible con su definición en $A\times A$ . Para ello, podemos definir $g * g'$ como la convolución

$$ g*g' = \left(\sum_{a\in A} z_{a} a\right)\left(\sum_{b\in A} z_{b}'b\right) = \sum_{c \in A}\sum_{a*b = c}z_{a}z_{b}' c $$

(Nótese que esto equivale a imponer una ley distributiva).

Así que, sí, podría haber una forma de ampliar $*$ a una operación en $G$ pero, como has notado, no está claro que $g * g'$ está bien definida. En concreto, el problema es que $G$ no es necesariamente generada libremente por $A$ dado sus supuestos, es decir, que podría no haber una forma única de expresar $g \in G$ como una combinación lineal de elementos de $A$ . Si $(G,+)$ es un grupo libre en $A$ entonces $(G,+,*)$ es un anillo y, de hecho, es isomorfo al anillo monoide $\mathbb{Z}[A]$ . De lo contrario, habría que comprobar que la operación está bien definida, verificando que si $\sum y_a a = \sum z_a a$ y $\sum y_a' a = \sum z_a a'$ entonces

$$ \left(\sum y_a a\right)\left(\sum y_a' a\right) = \left(\sum z_a a\right)\left(\sum z_a' a\right). $$

Una vez que sepas que eso es cierto, entonces $(G,+,*)$ es de nuevo un anillo.