Si $$\lim_{n\to\infty}\frac{1^a+2^a+...+n^a}{(n+1)^{a-1}\cdot((na+1)+(na+2)+...+(na+n))}=\frac{1}{60}$$ Halla el valor de a.
Inténtelo : Lo resolví utilizando dos métodos, cada uno de los cuales me dio respuestas diferentes.
$$=\lim_{n\to\infty}\frac{1^a+2^a+...+n^a}{(n+1)^{a-1}\cdot(n^2a+\frac{n(n+1)}{2})}$$ $$=\lim_{n\to\infty}\frac{1^a+2^a+\dots+n^a}{n^{2}(n+1)^{a-1}\cdot(a+\frac{(1+1/n)}{2})}$$$$ =2\lim_{n\to\infty}\frac{1^a+2^a+...+n^a}{n^{a+1}(1+1/n)^{a-1}(2a+1+1/n)} $$$$=2\lim_{n\to\infty}\frac{1^a+2^a+...+n^a}{n^{a+1}(2a+1)}=0$$ ya que el grado del denominador es mayor que el del numerador. Así que no obtendrás 1/60. Pero si utilizo el método de integración, la expresión dada se puede escribir como $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^a\sum_{r=1}^n(\frac{r}{n})^a}{(n+1)^{a-1}\cdot n\cdot\sum_{r=1}^n(a+\frac{r}{n})}$$$$ \displaystyle=\dfrac{\int_0^1x^a\,dx}{\int_0^1(a+x)\,dx} $$$$=\frac{2}{(2a+1)(a+1)}$$ Esto da a= 7 o -17/2 que es la respuesta correcta. ¿Qué hay de malo en mi primer método?
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No estoy seguro de ello, pero podría tener que ver con la afirmación de que el denominador tiene mayor grado que el numerador. Si el numerador fuera una suma de $n$ a potencias, sería el caso, pero el numerador no es tal suma. Si se toma un valor pequeño de $a$ y compruébalo tú mismo, debería quedar claro que el numerador tiene un grado mayor o igual que el denominador.
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En el primer método, el "grado del numerador" no es $a$ ya que el número de términos en el numerador aumenta con $n$ . Si hubiera que definir ese grado a toda costa, sería más bien $a+1$ al menos cuando $a>-1$ . Motivación cuando $a>0$ : hay $n$ como máximo $n^a$ por lo que el numerador es como máximo $n^{a+1}$ y hay $n/2$ como mínimo $(n/2)^a$ por lo que el numerador es al menos $n^{a+1}/2^a$ .