Deje $(X,d)$ ser algunos de espacio métrico y asumir que $d\leq 1$. Además, vamos a $\mu, $ $\nu$ dos Borel medidas de probabilidad en $X$ y dejar $$ \Gamma(\mu\nu) = \{\gamma \text{medida en }X\times X:\gamma(a,X) = \mu(A),\gamma(X,A) = \nu(A) \} $$ para ser el espacio de todos los acoplamientos de $\mu$$\nu$. Definir $$ W_1(\mu\nu) = \inf_{\gamma\en \Gamma(\mu\nu)}\int_{X\times X} d(x,y)\gamma(\mathrm dx\times\mathrm dy) $$ para ser el Wasserstein distancia (de orden $1$) entre $\mu$$\nu$.
Supongamos, somos capaces de establecer dos conjuntos de elementos aleatorios de acuerdo a estas distribuciones. E. g. $\{X_i\}$ es iid tal que $X_i\sim \mu$ $\{Y_j\}$ es iid tal que $Y_j\sim \nu$ donde $1\leq i,j\leq n$.
Es posible obtener resultados en $W_1(\mu,\nu)$$\{d(X_i,Y_j)\}_{ij}$, con un poco de confianza-como límites?
Algunos pensamientos: vamos a $\gamma(d):=\int_{X\times X}d(x,y)\mathrm d\gamma$. Un maniquí de forma es un fijo $\gamma$, se puede simular pares de $(X_i,Y_i)\sim \gamma$ y, a continuación, definir $$ \overline{\gamma(d)}:=\frac1n\sum d(X_i,Y_i). $$ Por la desigualdad de Hoeffding tenemos $$ \Bbb P\left(\left|\gamma(d) - \overline{\gamma(d)}\right|\geq t\right)\leq 2 \mathrm e^{-nt^2} $$ y desde $\gamma(d) \geq W_1(\mu,\nu)$ podemos conseguir algunos conservadores límites superiores en la distancia. El conservadurismo depende claramente de cómo $\gamma$ está lejos de ser el óptimo acoplamiento.
Tal vez, podemos hacer algo como eso: simular $\{X_i\}$ $\{Y_j\}$ y considerar $$ \barra W:= \frac1n\sum_{i=1}^n \min_j d(X_i,Y_j) $$ por lo tanto, "acoplamiento" $X$ $Y$ on-the-run. Pero no estoy seguro de si esto es una estimación insesgada y si permite que para algunos límites en el error.
Por favor, siéntase libre para volver a etiquetar. Tal vez voy mejor preguntar en las estadísticas.SE?
