¿De dónde proviene la energía cinética adicional en un tirachinas gravitacional?

Question

Leí en esta respuesta en este sitio que la energía cinética que adquiere una bola en caída libre no es originada por el cuerpo que la atrae, sino que la energía en realidad estaba almacenada en la bola cuando fue elevada a la altura desde la que cayó.

De esta manera, se dijo que la gravedad está sujeta al principio de conservación de la energía y no puede cambiar la energía total de un objeto.

Considera ahora la maniobra conocida como asistencia gravitatoria (también asistencia gravitatoria) utilizada por sondas espaciales como la Voyager 2. Una sonda espacial se acerca a un planeta con velocidad $v$, hace un giro alrededor y termina con una velocidad $v+2U$, donde $U$ es la velocidad del planeta.

Considera la energía de la sonda. Antes, era $E_i=\frac{1}{2} mv^2$ y después es $E_f=\frac{1}{2} m(v+2U)^2$. Parece que $E_f$ es mucho mayor que $E_i, ¿pero de dónde vino la energía adicional?

¿Esto no es una violación del principio de conservación de energía?

Answer 1

Cory, aquí tienes una forma diferente de pensar sobre las asistencias gravitatorias que puede ayudar:

Primero mi respuesta corta para lectores apurados:

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Lo que realmente sucede es un gigantesco juego de billar, con planetas en movimiento rápido actuando como bolas de billar masivas que transfieren parte de su energía al golpear a pequeñas naves espaciales. Dado que no puedes hacer rebotar directamente una nave espacial en la superficie de un planeta, en cambio se le dirige para rebotar suavemente en el enorme trampolín virtual que la gravedad crea detrás del planeta. Este campo ralentiza y revierte el movimiento relativo hacia atrás de una nave espacial para dar un empuje potente neto hacia adelante (o rebote) a medida que la nave espacial se mueve en un camino en forma de U detrás del planeta.

A continuación está mi respuesta original, más extensa y estilo historia:

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Imagina un planeta como Venus como una gigantesca bola de goma perfectamente elástica (elástica) y tu nave espacial como una bola de acero particularmente resistente. Luego, deja caer tu nave espacial de bola de acero desde el espacio de tal manera que golpeará el lado de Venus que está mirando hacia adelante en su órbita alrededor del Sol.

La nave espacial se acelerará a medida que cae hacia la superficie de Venus, pero después de que rebote, perfecta y sin pérdida de energía en este escenario imaginario, se detendrá de manera similar mientras la misma gravedad resiste su partida. Al igual que con una bola elástica que inicialmente se acelera al caer y luego se desacelera después de rebotar en el piso, no hay una energía libre neta "de gravedad" de la interacción.

¡Pero espera un segundo... hay otro factor!

Debido a que la nave espacial fue soltada frente a la trayectoria orbital de Venus, el planeta se moverá hacia el satélite a una velocidad tremenda cuando ocurra el rebote en la superficie.

Así, Venus actúa como una bola de billar increíblemente rápida y masiva, que transfiere un impulso enorme en velocidad a la nave espacial cuando ambos chocan. Esto es un aumento real en velocidad y energía que no tiene nada que ver con el cambio de velocidad temporal más rápido-lento debido a la gravedad.

Y al igual que una bola de billar se desacelera cuando transfiere energía de impacto a otra bola, aquí tampoco hay un almuerzo energético gratis: Venus se ralentiza cuando acelera la nave espacial. Es solo que su tamaño masivo hace que la disminución de la velocidad orbital de Venus sea inmensurablemente pequeña en comparación.

Para este punto probablemente veas hacia dónde me dirijo con esta idea: ¡Si solo hubiera una forma real de hacer rebotar una nave espacial en un planeta que se mueve rápidamente alrededor del Sol, podrías acelerarla tremendamente jugando lo que equivale a un gigantesco juego interplanetario de billar espacial!

Los tiros en este juego de billar serían muy difíciles de configurar y un solo tiro podría tomar años en completarse. ¡Pero mira los beneficios!

Incluso si comienzas con un lanzamiento de nave espacial relativamente lento (y por lo tanto, para viajes espaciales, económico), una buena secuencia de impactos por bolas de planetas (¡o lunares!) eventualmente haría que tu nave espacial se moviera tan rápido que podrías enviarla directamente fuera del sistema solar.

Pero por supuesto, no puedes hacer rebotar naves espaciales en planetas de una manera perfectamente elástica y conservadora de energía, ¿verdad?

En realidad... sí, puedes, ¡usando la gravedad!

Imagina nuevamente que has colocado una nave espacial relativamente lenta en algún lugar frente a la trayectoria orbital de Venus. Pero esta vez, en lugar de apuntarlo hacia la parte delantera de Venus, donde cualquier nave espacial real simplemente se quemaría, apúntala un poco hacia el lado para que pase justo detrás de Venus.

Si la apuntas lo suficientemente cerca y en el ángulo correcto, la gravedad de Venus atrapará la nave espacial en un camino en forma de U. Venus no la capturará por completo, pero puede cambiar su dirección de movimiento por un ángulo grande que puede acercarse a los 180 grados.

¡Ahora piensa en eso! La nave espacial primero se mueve hacia el planeta que se acerca rápidamente, interactúa poderosamente con él a través de la gravedad y termina moviéndose en dirección opuesta. ¡Si solo miras el inicio y el final del evento, parece como si la nave espacial hubiera rebotado en el planeta!

Y hablando energéticamente, eso es exactamente lo que sucede en tales eventos. En lugar de almacenar la energía cinética de la nave espacial entrante en materia comprimida de manera burda (la analogía de la bola de goma), la gravedad de Venus realiza todas las conversiones necesarias entre energía cinética y potencial por ti. Como beneficio adicional enorme, la versión gravitacional de un rebote funciona de manera suave y delicada que permite que incluso naves espaciales delicadas sobrevivan al proceso.

Por cierto, vale la pena notar que la frase "asistido por gravedad" se refiere realmente solo a la parte de rebote elástico de un evento de colisión más grande e interesante.

El verdadero juego que está en marcha es el billar planetario, con los planetas actuando como bolas de billar enormemente poderosas que, si se usan correctamente, pueden impartir enormes aumentos de velocidad a las naves espaciales que pasan cerca de ellos. Es un juego complicado que requiere paciencia y una precisión fenomenal, pero es uno que las agencias espaciales de todo el mundo han aprendido a usar muy bien hasta ahora.

Answer 2

La energía se conserva de hecho, incluso en las asistencias gravitacionales.

Después de la asistencia gravitacional, la velocidad de la nave espacial puede cambiar, lo que significa que su energía cinética también cambiará. Si esto sucede, el aumento (o disminución) de energía se compensará con una disminución (o aumento) correspondiente en la energía cinética del planeta. En palabras sencillas: el planeta disminuirá su velocidad en proporción a cuánto aumentó la sonda (o disminuyó) y las respectivas masas del planeta y sonda.

La sonda básicamente "roba" energía del planeta - pero debido a que la cantidad de velocidad que te proporciona una cierta cantidad de energía se pondera por la masa, robar un pequeño bit de velocidad de un planeta muy masivo puede proporcionar una enorme velocidad para una sonda muy ligera.

Aquí hay un ejemplo, una asistencia gravitacional bastante simple del artículo de Wikipedia al que se hace referencia en la pregunta:

Si la sonda venía con $v$ y se fue con $v+2U$, mientras que el planeta venía con $U$:

• La energía de la sonda ha pasado de $\frac{1}{2}mv^2$ a $\frac{1}{2}m(v+2U)^2 = \frac{1}{2}mv^2 + 2mU(v+U)$. Por lo tanto, ha aumentado en $2mU(v+U)$.
• La energía del planeta era $\frac{1}{2}MU^2$.
• La energía se conserva, por lo tanto el planeta debe haber perdido $2mU(v+U)$ de energía.
• La nueva energía del planeta es $E = \frac{1}{2}MU^2 - 2mU(v+U)$. La nueva velocidad del planeta se puede calcular tomando la raíz cuadrada de $\frac{2E}{m}$ pero la ecuación se ve fea, así que no lo haré.

Dos intuiciones pueden ayudar:

1. La energía cinética es una función de la velocidad, que es relativa. Por lo tanto, la energía cinética también es relativa. Si estuvieras de pie en la superficie del planeta durante una asistencia gravitacional, la velocidad y la energía cinética del planeta te parecerían 0 antes y después de la asistencia - en consecuencia, observarías que la sonda primero viene hacia tu planeta, dando vueltas, y se va con la misma velocidad pero tal vez en una dirección diferente. Del mismo modo si estuvieras a bordo de la sonda - en estos dos marcos de referencia, la energía está preocupada; por lo tanto debe conservarse en todos los demás marcos de inercia.

2. Si te alejas mucho, la asistencia gravitacional parece una colisión. Primero, dos objetos se acercan el uno al otro, luego se acercan brevemente (como estás alejado, no puedes realmente decir si realmente entran en contacto o solo hacen una órbita muy ajustada), y el objeto pequeño "rebota" como si chocara. Todas las velocidades y demás parecen funcionar de una manera consistente con las colisiones. Imagina que estás de pie en un ferrocarril con una bola de titanio. Justo cuando una locomotora se acerca a ti a 150 mph, lanzas la bola suavemente a la locomotora (¡mientras estás protegido con el equipo de seguridad adecuado!). ¿La bola tocará a la locomotora que se acerca a ella a 150 mph, y luego regresará suavemente hacia ti? No, la locomotora la lanzaría hacia adelante y la convertiría en un proyectil peligroso que se mueve muy rápido. ¿De dónde vino la energía? Obviamente, el tren se ralentizó por una cantidad imperceptible (si montas una máquina para lanzar miles de esas bolas al tren, eventualmente se detendrá). La asistencia gravitacional es como una colisión entre una bola muy grande y pesada y una bola muy pequeña (sin perder energía por fricción o calor) - cómo se conserva la energía en esta colisión no es un misterio.

Answer 3

Las asistencias gravitatorias no cambian la velocidad en el problema de dos cuerpos. Un objeto que se acerca a un cuerpo gravitante solitario ingresará y saldrá de la cercanía de ese cuerpo con exactamente la misma velocidad. Todo lo que un cuerpo gravitante solitario puede hacer es cambiar la dirección en la que se dirige el objeto.

El cuerpo que brinda la asistencia necesita estar en movimiento con respecto al sistema objetivo para lograr un cambio en la velocidad, así como en la dirección. Por ejemplo, un planeta en órbita se está moviendo con respecto al Sol. Esto significa que los planetas son perfectos para afectar asistencias gravitatorias en nuestro sistema solar.

Finalmente, las asistencias gravitatorias ocurren bastante rápido. Hay muy poco cambio en la energía potencial durante una asistencia gravitatoria. Lo que cambia, al menos al principio, es el momento. En una asistencia gravitatoria típica donde la velocidad del vehículo aumenta, el momento del planeta disminuye un poco. El vehículo roba una pequeña, pequeñísima porción del momento del planeta. Lo que constituye una porción pequeña, pequeñísima del momento del planeta puede representar un cambio enorme en el momento para el vehículo.

Answer 4

Veamos qué sucede si introducimos números en tus ecuaciones para ver si realmente hay una violación de la conservación de la energía.

Usando números para Tierra de wikipedia tenemos una velocidad de $29.78*10^3\frac{m}{s}$ para la velocidad orbital y una masa de $5.972*10^{24}kg$. Para la Voyager 2 tenemso una masa de aproximadamente 730 kg y una velocidad de $80*10^3\frac{m}{s}$. La diferencia en la energía cinética antes y después del sobrevuelo es:

$\frac{1}{2}*(730kg)*(80*10^3\frac{m}{s} + 2*29.78*10^3\frac{m}{s})^2-\frac{1}{2}*(730kg)*(80*10^3\frac{m}{s})^2 = 2.062*10^{12} J$

Esto es una cantidad considerable de energía. Pero para un planeta del tamaño de la tierra esta cantidad de energía tiene la siguiente velocidad:

$2.062*10^{12} J=\frac{1}{2}*(5.972*10^{24}kg)*v^2$, $v=0.8$MICROMETROS/segundo

Esta es una estimación aproximada pero muestra que pequeñas diferencias en la velocidad de un planeta resultan en grandes cantidades de energía. Debido a estas diferencias, las ecuaciones se reducen a la velocidad del planeta permaneciendo igual mientras que las ganancias en energía cinética para el satélite resultan en grandes ganancias en velocidad. El sistema, de hecho, conserva energía pero algunas diferencias son tan pequeñas que no es necesario considerarlas en un cálculo.