Es un teorema de Riemann que si una función $f:D\to\Bbb C$ es holomorfa en todos los puntos, salvo en los finitos, en los que es continua, entonces en realidad $\mathcal O(D)\ni f$ . Un ejercicio en el texto introductorio de Remmert pide demostrar que esto es cierto si $f$ es holomorfo en $D$ excepto una línea en $D$ , donde es continua. ¿Se pueden caracterizar los subconjuntos $C$ de un conjunto abierto fijo $D$ de manera que la afirmación "Si $f$ es holomorfo en $D\setminus C$ , $f$ es holomorfo en $D$ ." ¿es cierto?
Respuestas
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Encontrar las condiciones suficientes y necesarias (en términos geométricos) para que un conjunto sea removible con respecto a una cierta clase de funciones analíticas fuera del conjunto es en general un problema extremadamente difícil. Para la clase de funciones analíticas acotadas, el problema suele denominarse El problema de Painlevé y se necesitaron más de cien años para obtener una solución razonable, gracias al trabajo de Tolsa, David, Melnikov y muchas otras personas. Una buena referencia para esto es el reciente libro de Tolsa "Analytic Capacity, the Cauchy Transform, and Non-homogeneous Calderón-Zygmund Theory" y el libro de Dudziak "Vitushkin's conjecture for removable sets".
Lo que te interesa es equivalente a encontrar condiciones necesarias y suficientes para que una función sea continua en la esfera y analítica fuera de un conjunto compacto $E$ para ser constante. El concepto relevante aquí es el llamado capacidad de análisis continuo .
Hasta donde yo sé, no existe una buena caracterización de los conjuntos de capacidad analítica continua cero. Si un conjunto es desmontable para funciones analíticas acotadas, entonces también es desmontable para funciones continuas. En particular, cualquier conjunto de medida de Hausdorff unidimensional cero es extraíble para funciones continuas (es un viejo teorema de Painlevé). Un conjunto que intersecte cualquier curva rectificable en un conjunto de medida de Hausdorff unidimensional cero también será extraíble (esto fue conjeturado por Vitushkin en los años 60 y demostrado por David en 1998).
Sin embargo, hay conjuntos desmontables para funciones continuas analíticas fuera del conjunto, pero no desmontables para funciones analíticas acotadas. Por ejemplo, los conjuntos compactos de $\sigma$ -Las longitudes finitas son extraíbles para funciones continuas analíticas fuera del conjunto (véase el artículo "On sufficient conditions for a function to be analytic and sobre el comportamiento de las funciones analíticas en la vecindad de los puntos no aislados" de Besicovitch). En particular, cualquier curva rectificable es desmontable para tales funciones.
Por último, me remito a mis respuestas en las siguientes preguntas:
https://mathoverflow.net/questions/120118/when-does-continuity-imply-holomorphy/120122#120122
Saludos cordiales, Malik
Marc
Puntos
31
La afirmación que hizo al final "si $f$ es holomorfo en $D\backslash C$ entonces $f$ es holomorfo en $D$ " se equivoca incluso cuando $C$ es un punto.
Se necesita alguna condición adicional, como "f está acotada", o "f es continua", o algo así. Siempre que tengas alguna clase $X$ de funciones holomorfas, un conjunto $C$ para la cual la afirmación anterior es válida para $f$ en la clase se llama conjunto extraíble para esta clase. El teorema de Riemann que mencionas es realmente cierto para la clase de funciones acotadas (no sólo continuas). Los conjuntos extraíbles para varias clases se describen en términos de varias capacidades. Por ejemplo, los conjuntos extraíbles para funciones analíticas acotadas se describen en términos de capacidad analítica, y recientemente se ha producido un gran avance en la comprensión de los conjuntos extraíbles para esta clase. Para empezar, se puede consultar el artículo de Wikipedia "Capacidad analítica".
