Conjuntos infinitos con cardinalidad menor que los números naturales

Question

¿Hay cualquier conjuntos de infinitos que tienen una cardinalidad menor que los números naturales? ¿Hay una prueba de esto?

Answer 1

No hay ninguno. Si $A$ tiene cardinality de a más los números naturales, podemos asumir que es un subconjunto de los números naturales.

Se puede demostrar que un subconjunto de los números naturales es limitada y finita o ilimitada y equipotente a los naturales los números mismos.

Answer 2

Cada set $X$ que tiene cardinalidad en la mayoría de los que de $\mathbb{N}$, es decir, tal que $X$ inyecta en $\mathbb{N}$, es finito o tiene la misma cardinalidad como $\mathbb{N}$ por el argumento de Asaf la respuesta.

Por otra parte, asumiendo el Axioma de Elección, o incluso sólo un débil fragmento de la misma, cada conjunto de $X$ que hace no tiene cardinalidad en menos de $\mathbb{N}$, es decir, tal que $\mathbb{N}$ no se inyecte en $X$, es finito por el argumento en user103567 la respuesta.

Sin embargo, tal vez vale la pena señalar que es consistente con $\mathsf{ZF}$ teoría de conjuntos, que es como la habitual de la teoría de la $\mathsf{ZFC}$ pero sin el Axioma de Elección, que hay conjuntos infinitos $X$ cuya cardinalidad es incomparable con la de $\mathbb{N}$; es decir, ni $X$ ni $\mathbb{N}$ inyecta en el otro.

Tal patológico conjuntos sería infinito y Dedekind finito: ver aquí las definiciones.

Answer 3

Que $A$ ser un conjunto infinito.

Elija un elemento $a_1\in A$, $A-a_1$ es aún infinito.

....

Elija un elemento $a_n\in A$, $A-a_1-a_2-\dots-a_n$ es aún infinito.

$A$ Es infinito, podemos hacer este times(countable) infinito, entonces obtenemos un subconjunto de $A$, i.e.,$\{a_1,\dots,a_n,\dots\}$, que muestra que hemos construido un mappi uno a uno