Estoy tratando de seguir Coleman prueba de sus conferencias "los Aspectos de la Simetría" en la página 200-201. Él demuestra que siempre es posible trabajar en el temporal de calibre para un general de Yang-Mills-la teoría de Higgs. Voy a repetir rápidamente su argumento. Considere algunas campo de Higgs, $\phi$, por lo que la dirección de derivada covariante desapareció en algún camino de $P$:
\begin{equation} \frac{dx^\mu}{ds} D_\mu \phi=0 \Rightarrow \frac{d \phi}{ds}=-\frac{dx^\mu}{ds} A_\mu \phi \end{equation}
donde $s$ es el parámetro de la ruta, de tal manera que la ruta se inicia en el punto de $x_0$ y termina a las $x_1$$s \in [0,s_f]$. La solución de esta ecuación está dada por:
\begin{equation} g(P) = \mathcal{P} \exp \left( -\int\limits_{P(0)}^{P(s_f)} A_\mu(P(s)) \; \mathrm{d} x^\mu \right) \end{equation}
donde $\mathcal{P}$ indica el camino de pedido símbolo. Además, se puede mostrar que las propiedades de transformación está dada por:
\begin{equation} g(P)' = g(x_1) g(P) g(x_0)^{-1} \end{equation}
Ahora la prueba: `Para cualquier espacio-tiempo punto de $x$, definir $P_x$ a ser el camino en línea recta de$(\mathbf{x},0)$$x$. El calibre deseado transformación se define por:
\begin{equation} g(x)=g(P_x)^{-1} \end{equation}
para, en virtud de esta transformación:
\begin{equation} g(P_x)' = g(P_x)^{-1} g(P_x) g(P_0)=1 \end{equation}
a partir de que $A_0=0$ sigue por la diferenciación."
Entiendo que la matemática antes de la prueba real, pero me parece que su prueba bastante confuso (tal vez porque el inglés no es mi primera lengua). Por lo que yo entiendo, él es el que define un camino de $P_x$ en cada punto de $x$ en el espacio-tiempo. Además, $P_x$ es una línea recta cambiante en el tiempo, es decir, $P_x$ se queda en el mismo punto de $\mathbf{x}$ en el espacio, sino que evoluciona con $t$. Es eso correcto? Si es así, entonces $g(P_x)$ está dada por:
\begin{equation} g(P_x) = \mathcal{P} \exp \left( -\int\limits_{P(0)}^{P(s_f)} A_0(P_x(s)) \; \mathrm{d} x^0 \right) \end{equation}
y, de hecho, esto implica:
\begin{equation} \partial_0 g(P_x)' = A_0' = 0 \end{equation}
Si mi interpretación es correcta hasta ahora, a continuación, tengo el siguiente (tal vez estúpido) pregunta:
¿Cómo podemos saber que $\phi$ en cada espacio-tiempo punto de $x$ siempre obedecer a la primera ecuación escribí? En otras palabras, el conjunto de la prueba se basa en la idea de la $\phi$ satisfecho de que la ecuación para el camino de $P_x$, pero, ¿cómo sabemos que es verdad?
