Por definición, una "serie" (una "suma infinita")
$$\sum_{n=k}^{\infty} a_n$$
se define como un límite, es decir,
$$\sum_{n=k}^{\infty} a_n= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=k}^N a_n.$$
Es decir, la "suma infinita" es el límite de los importes parciales", si este límite existe. Si el límite existe, igual a algún número $S$, podemos decir que la serie "converge" hasta el límite, y escribimos
$$\sum_{n=k}^{\infty} a_n = S.$$
Si el límite no existe, decimos que la serie diverge y no es igual a cualquier número.
Así que la escritura que
$$\sum_{n=0}^{\infty} 0.7^n = \frac{1}{1-0.7}$$
significa que estamos afirmando que
$$\lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N0.7^n = \frac{1}{1-0.7}.$$
Así que lo que tu pregunta es realmente preguntando es: ¿por qué es este límite igual a $\frac{1}{1-0.7}$? (O, más bien, que es la única manera de hacer sentido de la pregunta).
Con el fin de averiguar el límite, es útil (pero no es estrictamente necesario) tener una fórmula para las sumas parciales,
$$s_N = \sum_{n=0}^N 0.7^n.$$
Aquí es donde las fórmulas que otros han dado de venir. Si se toma el $N$ésima suma parcial y multiplicar por $0.7$, se obtiene
$$\begin{array}{rcrcrcrcrcrcl}
s_N &= 1 &+& (0.7) &+& (0.7)^2 &+& \cdots &+& (0.7)^N\\
(0.7)s_N &= &&(0.7) &+& (0.7)^2 &+&\cdots &+&(0.7)^N &+& (0.7)^{N+1}
\end{array}$$
así que
$$(1-0.7)s_N = s_N - (0.7)s_N = 1 - (0.7)^{N+1}.$$
La solución para $s_N$ da
$$s_N = \frac{1 - (0.7)^{N+1}}{1-0.7}.$$
¿Cuál es el límite de $N\to\infty$? La única parte de la expresión que depende de $N$$(0.7)^{N+1}$. Desde $|0.7|\lt 1$,$\lim\limits_{N\to\infty}(0.7)^{N+1} = 0$. Así,
$$\lim_{N\to\infty}s_N = \lim_{N\to\infty}\left(\frac{1-(0.7)^{N+1}}{1-0.7}\right) = \frac{\lim\limits_{N\to\infty}1 - \lim\limits_{N\to\infty}(0.7)^{N+1}}{\lim\limits_{N\to\infty}1 - \lim\limits_{N\to\infty}0.7} = \frac{1 - 0}{1-0.7} = \frac{1}{1-0.7}.$$
Dado que el límite existe, entonces se escribe
$$\sum_{n=0}^{\infty}(0.7)^n = \frac{1}{1-0.7}.$$
Más en general, una suma de la forma
$$a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^k$$
con $a$ $r$ constante se dice que es una "serie geométrica" con plazo inicial $a$ y la razón común $r$. Si $a=0$, entonces la suma es igual a $0$. Si $r=1$, entonces la suma es igual a $(k+1)a$. Si $r\neq 1$, entonces podemos proceder como en el anterior. Dejar
$$S = a +ar + \cdots + ar^k$$
tenemos que
$$S - rS = (a+ar+\cdots+ar^k) - (ar+ar^2+\cdots+a^{k+1}) = a - ar^{k+1}$$
así que
$$(1-r)S = a(1 - r^{k+1}).$$
Dividiendo por $1-r$ (que no es cero debido a que $r\neq 1$), obtenemos
$$S = \frac{a(1-r^{k+1})}{1-r}.$$
Una serie de la forma
$$
\sum_{n=0}^{\infty}ar^{n}
$$
con $a$ $r$ constantes se llama una serie geométrica infinita.
Si $r=1$, luego
$$
\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}ar^{n}
= \lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}una
= \lim_{N\to\infty}(N+1)
= \infty,
$$
así que la serie diverge. Si $r\neq 1$, a continuación, utilizando la fórmula anterior tenemos:
$$
\sum_{n=0}^{\infty}ar^n = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}ar^{N} = \lim_{N\to\infty}\frac{a(1-r^{N+1})}{1-r}.
$$
El límite existe si y sólo si $\lim\limits_{N\to\infty}r^{N+1}$ existe. Desde
$$
\lim_{N\to\infty}r^{N+1} = \left\{\begin{array}{ll}
0 &\mbox{if %#%#%;}\\
1 & \mbox{if %#%#%;}\\
\text{does not exist} &\mbox{if %#%#% or %#%#%}
\end{array}\right.
$$
de ello se sigue que:
$$
\begin{align*}
\sum_{n=0}^{\infty}ar^{n} &=\left\{\begin{array}{ll}
0 &\mbox{if %#%#%;}\\
\text{diverges}&\mbox{if %#%#% and %#%#%;}\\
\lim\limits_{N\to\infty}\frac{a(1-r^{N+1})}{1-r} &\mbox{if %#%#%;}\end{array}\right.\\
&= \left\{\begin{array}{ll}
\text{diverges}&\mbox{if %#%#% and %#%#%;}\\
\text{diverges}&\mbox{if %#%#%, and %#%#% or %#%#%;}\\
\frac{a(1-0)}{1-r}&\mbox{if %#%#%;}
\end{array}\right.\\
&=\left\{\begin{array}{ll}
\text{diverges}&\mbox{if %#%#% and %#%#%;}\\
\frac{a}{1-r}&\mbox{if %#%#%.}
\end{array}\right.
\end{align*}
$$
Su ejemplo ha $|r|\lt 1$$r=1$.
Desde este vino recientemente (09/29/2011), vamos a proporcionar una prueba formal de que
$$
\lim_{N\to\infty}r^{N+1} = \left\{\begin{array}{ll}
0 &\mbox{if %#%#%;}\\
1 & \mbox{if %#%#%;}\\
\text{does not exist} &\mbox{if %#%#% or %#%#%}
\end{array}\right.
$$
Si $r=-1$, a continuación, escriba $|r|\gt 1$,$a=0$. Por el teorema del binomio, $a\neq 0$, por lo que es suficiente para mostrar que para cada número real $r=1$ existe $r\neq 1$ tal que $a\neq 0$. Esto es equivalente a preguntar por un número natural $r=1$ tal que $a\neq 0$, y esto es por el de Arquímedes de la propiedad; por lo tanto, si $r=-1$, $|r|\gt 1$ no existe. De esto se sigue que si $|r|\lt 1$, entonces el límite no existe: dado cualquier $a\neq 0$ existe $|r|\geq 1$ tal que $|r|\lt 1$$a=1$, lo $r=0.7$ no existe si $|r|\lt 1$.
Si $r=1$, a continuación, para cada número real $r=-1$ $|r|\gt 1$ o $r\gt 1$. Por lo tanto, para cada $r=1+k$, y para cada $k\gt0$ existe $r^n = (1+k)^n \gt 1+nk$ tal que $M$ probando el límite no puede igualar $n\in\mathbb{N}$; por lo tanto, el límite no existe. Si $nk\gt M$, $n$ todos los $n\gt \frac{M}{k}$, por lo que para cada $r\gt 1$ podemos tomar $\lim\limits_{n\to\infty}r^n$, y para todos los $r\lt -1$ tenemos $M$, por lo tanto $n$. Del mismo modo, si $r^{2n}\gt M$, $r^{2n+1}\lt M$ tomando $\lim\limits_{n\to\infty}r^n$ cualquier $r\lt -1$.
A continuación, supongamos que $r=-1$. A continuación, la secuencia $L$ es estrictamente decreciente y acotada abajo por $|L-1|\gt \frac{1}{2}$: tenemos $|L+1|\gt \frac{1}{2}$, por lo que multiplicando por $L$ obtenemos $M$. Asumiendo $n\gt M$, multiplicando por $|L-r^n|\gt \frac{1}{2}$ obtenemos $L$, así que por inducción tenemos que $r=1$ por cada $r^n=1$.
Desde la secuencia está delimitado a continuación, vamos a $n$ ser el infimum de $\epsilon\gt 0$. A continuación,$N=1$: de hecho, vamos a $n\geq N$. Por la definición de infimum, existe $|r^n-1|\lt\epsilon$ tal que $\lim\limits_{N\to\infty}1^n = 1$; por lo tanto para todos los $r=0$,
$\lim\limits_{n\to\infty}r^n = 0$$
Por lo tanto $N=1$.
En particular, $\epsilon\gt 0$, ya que el $0\lt r\lt 1$ es un subsequence de la convergencia de la secuencia de $\{r^n\}_{n=1}^{\infty}$. Por otro lado, afirmo que la $0$: de hecho, vamos a $0\lt r \lt 1$. Entonces existe $r\gt 0$ tal que para todo $0\lt r^2 \lt r$, $0\lt r^{k+1}\lt r^k$. Por otra parte, podemos suponer que las $r$ es lo suficientemente pequeña para que $0\lt r^{k+2}\lt r^{k+1}$. Entonces
$0\lt r^{n+1}\lt r^n$$
Por lo tanto, $n$. Desde una secuencia sólo puede tener un límite, y la secuencia de $\rho\geq 0$ converge a ambos $\{r^n\}_{n=1}^{\infty}$$\lim\limits_{n\to\infty}r^n =\rho$,$\epsilon\gt 0$. Por lo tanto $N$ o $\rho\leq r^N\lt \rho+\epsilon$. Pero $n\geq N$. Por lo tanto $$|\rho-r^n| = r^n-\rho \leq r^N-\rho \lt\epsilon.$.
Por lo tanto, si $\lim\limits_{n\to\infty}r^n = \rho$,$\lim\limits_{n\to\infty}r^{2n} = \rho$.
Por último, si $\{r^{2n}\}_{n=1}^{\infty}$,$\{r^n\}_{n=1}^{\infty}$. Deje $\lim\limits_{n\to\infty}r^{2n} = \rho^2$. Entonces existe $\epsilon\gt 0$ tal que para todos los $N$ tenemos $n\geq N$, ya que el $r^n - \rho\lt\epsilon$. Por lo tanto, para todos los $\epsilon$ existe $\rho+\epsilon\lt 1$ tal que para todo $$|r^{2n}-\rho^2| = |r^n-\rho||r^n+\rho| = (r^n-\rho)(r^n+\rho)\lt (r^n-\rho)(\rho+\epsilon) \lt r^n-\rho\lt\epsilon.$, $\lim\limits_{n\to\infty}r^{2n} = \rho^2$. Esto demuestra que $r^{2n}$, como se desee.
En resumen,
$$\lim_{N\to\infty}r^{N+1} = \left\{\begin{array}{ll}
0 &\mbox{if %#%#%;}\\
1 & \mbox{if %#%#%;}\\
\text{does not exist} &\mbox{if %#%#% or %#%#%}
\end{array}\right.$$
El argumento sugerido por Srivatsan Narayanan en los comentarios para lidiar con el caso de $\rho$ es menos torpe que la mía anterior: existe $\rho^2$ tal que $\rho=\rho^2$. Entonces podemos usar el teorema del binomio como arriba para conseguir que
$\rho=0$$
Por la Propiedad de Arquímedes, para cada $\rho=1$ existe $\rho=\mathrm{inf}\{r^n\mid n\in\mathbb{N}\} \leq r \lt 1$ tal que $\rho=0$, y por lo tanto para todos $0\lt r\lt 1$, $\lim\limits_{n\to\infty}r^n = 0$. Esto demuestra que $-1\lt r\lt 0$ al $0\lt |r|\lt 1$, sin tener que invocar el infimum propiedad de forma explícita.
