Una pregunta basada en los subgrupos normales

Question

Pregunta:

Deje $G$ ser un grupo y $H$ a un subgrupo de $G$. Una clase conjugacy de un elemento $α∈G$ es el conjunto $\def\CC{\mathop{\rm CC}}\CC(a)=\{ g^{-1} ag \mid g∈G\}$. Demostrar que $H$ es la unión de las clases conjugacy si y sólo si $H$ es normal en $G$.

Mi Respuesta:

Probar que si $H$ es normal en $G$ $H$ es la unión de las clases conjugacy. Suponga que $H$ no es la unión de las clases conjugacy. Esto significa que $H$ no tiene un elemento que es de la forma $g^{-1} ag$ donde $a∈G$. Ahora, $H$ es normal en $G$, $gH=Hg$ todos los $g∈G$. Por lo tanto, para algunas de las $g∈G$ $h∈H$ existe $h'∈H$ tal que $gh=h' g$. Esto demuestra que $h=g^{-1} h' g∈H$, lo que contradice que $H$ no tiene ningún elemento de la forma $g^{-1} ag$, $a∈G$. Por lo tanto, está demostrado que si $H$ es normal en $G$, $H$ es la unión de las clases conjugacy.

Por el contrario, demostrar que si $H$ es la unión de las clases conjugacy, a continuación, $H$ es normal en $G$. Una propiedad de los subgrupos $N$ normal grupo $M$ es que para todos los $m∈M$, $mNm^{-1}⊆N$. Debe entonces demostrar que para todos los $g∈G$, $gHg^{-1}⊆H$. Deje $a∈ gHg^{-1}$, $a=ghg^{-1}$ algunos $h∈H$. Ahora, el elemento $$a=ghg^{-1}=(g^{-1} )^{-1} hg^{-1}∈H.$$ Thus, by the stated property, $H$ is a normal subgroup in $G$.

Por lo tanto, está demostrado que el $H$ es la unión de las clases conjugacy si y sólo si $H$ es normal en $G$.

Es mi respuesta correcta o tengo que modificar? Indique si es necesario.

Gracias

Answer 1

Usted está en el camino correcto. Intenta ser un poco más sencillo en su respuesta. Por ejemplo, suponiendo que el $H$ es normal en $G$ y, a continuación, probar directamente que $H$ es una unión de clases conjugacy. Para lograr esto, necesitas encontrar el conjugacy clases que conforman $H$. Considerar, sólo uno de los elementos $h\in H$. Desde $H$ es normal, sabes que $g^{-1}hg\in H$ todos los $g\in G$. No significa eso que el $CC(h)$ es conatained en $H$? Así, se encontró a una clase conjugacy que es totalmente contiene en $H$ y contiene el elemento $h$. Pero $h$ fue arbitraria, de modo que es cierto en general que si $h\in H$, entonces su clase conjugacy $CC(h)$ satisface $h\in CC(h)\subseteq H$. Ahora, ¿qué dice usted acerca de $$\bigcup _{h\in H}CC(h)=?$$

Formalizar cuidadosamente los argumentos arriba y usted tiene una prueba de la primera dirección. Usted puede después de finalizar la prueba en la otra dirección.

Answer 2

creo que de $G$ que actúa sobre sí mismo (como un juego) a través de su interior automorfismos. las clases conjugacy son la mínima (no vacío) estable establece en virtud de la operación de la totalidad de $G$, y son disjuntas.

deje $C$ ser cualquier clase conjugacy y $N$ un subgrupo normal. entonces

$$ (C \cap N)^G = C^G \cap N^G = C \cap N $$ este conjunto es, pues, estable en $G$ y por lo tanto debe (por minimality de $C$) o bien estar vacío o ser un completo conjugacy clase, es decir,$C \subset N$. cualquier clase conjugacy pertenece a $N$ o es distinto de ella.

por el contrario, si $M$ es un subgrupo, entonces si que se compone de completar las clases conjugacy es estable en todos los interiores de automorfismos de a $G$ es decir, que es normal en $G$.