¿Cuál es la intuición detrás del hecho de que si cada elemento de un grupo es de orden $2$ ¿tenemos que el grupo es abeliano? Puedo demostrarlo, pero no conozco la intuición que hay detrás.
Creo que es un caso especial de un caso general que es;
Lema :si $f:G\to G$ por $f(x)=x^{-1}$ es un homomorfismo si y sólo si $G$ es abeliana.
Ahora piensa que tienes este lema y buscas un caso que pueda ocurrir. La idea más natural es establecer; $x=x^{-1}$ para todos $x$ es decir $x^2=e$ entonces $f$ se convierte en el mapa identidad que es un homomorfismo por lo que deberíamos tener un grupo abeliano.
Ahora, se puede preguntar que cuál es la intuición del lema ? También es natural ya que cada elemento tiene uniqe inverso entonces el mapa es una biyección y es natural preguntar cuando esta biyección es un homomorfismo.
No sé exactamente lo que buscas en una explicación intuitiva, así que me limitaré a explicar cómo lo veo yo. Espero que te sirva también a ti.
La afirmación de que todo elemento tiene orden 2 es equivalente a la afirmación de que todo elemento es su propio inverso. Si te sientes cómodo con que los inversos sean únicos, entonces la conmutatividad es simplemente la observación de que $abba$ es la identidad de cualquier $a$ y $b$ en el grupo, porque muestra que $ba$ es la inversa de $ab$ . ¿Acaso esto lo aclara más?
Edición: La respuesta de Mesel me ha inspirado a pensar un poco más en esto. En cualquier grupo tienes una operación de composición e inversa. Así que podemos tomar dos elementos del grupo $a$ y $b$ (con inversos $a^{-1}$ y $b^{-1}$ ) y combinarlos para obtener $ab$ . Una pregunta natural que hay que hacerse es cuál es la inversa de este nuevo elemento $ab$ es, en términos de los cuatro elementos con los que empezamos. No es difícil ver que es $b^{-1}a^{-1}$ .
Ahora tenemos esta interesante relación $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ en la que se invierten los elementos. Esto sugiere que podría haber alguna conexión entre la inversión y la conmutatividad. El lema que menciona Mesel describe esa conexión de forma precisa (y, además, es fácil de demostrar).
Tal vez ayude pensar en términos de permutaciones (al menos para grupos finitos). Sea $G$ sea un grupo en el que cada elemento tiene un orden a lo sumo de 2, y sea $\sigma, \tau \in G$ tienen el orden 2. Entonces $\sigma$ y $\tau$ son ambos productos de ciclos de longitud 1 o 2, y además también lo son $\sigma\tau$ y $\tau\sigma$ .
Ahora piensa en los 2 ciclos de $\sigma$ Supongamos que uno de ellos es $(a\ b)$ . Entonces $\tau$ tiene $(a\ b)$ o $(a)\ (b)$ . Porque si no, entonces, sin pérdida de generalidad, $\tau$ tiene un 2-ciclo de la forma $(a\ c)$ pero en este caso se puede ver que $\sigma\tau$ y $\tau\sigma$ no tendrá la orden 2.
En otras palabras, cada 2 ciclos en $\sigma$ coincide y se anula con el correspondiente ciclo de 2 en $\tau$ o es dejado solo por $\tau$ . A continuación, puede ver que el orden en el que se aplica $\sigma$ y $\tau$ claramente no importa.
No sé si esto es lo suficientemente corto para una intuición, pero espero que ayude.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
1 votos
¿Quizás que simplemente no hay suficientes "grados de libertad" para ser no abelianos? Simplemente no se puede conseguir ninguna relación no abeliana una vez que se tiene eso $aabb=abab=e$ para todos $a,b$ .
0 votos
¿Qué significa aquí el grado de libertad? ¿Cómo puedo categorizar algún grupo es abeliano por este grado de libertad?
2 votos
Me refiero a la disponibilidad de relaciones en los elementos del grupo. Es decir, ecuaciones que satisfacen los elementos del grupo. Inmediatamente se obtiene la relación que proporcioné arriba, y ésta descarta instantáneamente cualquier relación no abeliana.
1 votos
No creo que haya mucha intuición. No veo cómo una explicación intuitiva podría distinguir $2$ de $3$ sin pasar por la prueba, pero la conclusión es falsa con $2$ sustituido por $3$ .
3 votos
Un pequeño comentario: ningún grupo tiene la propiedad de que cada uno de sus elementos tenga orden $2$ ya que la identidad siempre tiene orden $1$ .
2 votos
@usuario: es común ver a la gente decir "orden $n$ " cuando quieren decir " $n$ -torsión", por ejemplo, la orden de dividir $n$ . Creo que el significado es claro.