Aquí es una manera de poder decidir que es una mezcla de locales y globales, pero es todo lo interno. Es "sólo" requiere el conocimiento de cada métrica de Riemann en su colector (así que es completamente impráctico, pero todavía es completamente interno).
Es local en el sentido de que se puede ver en el colector de pointwise y obtener la respuesta (lo cual es bueno porque, como se explica en los comentarios, un exótico $\mathbb{R}^4$ es localmente diffeomorphic a la norma $\mathbb{R}^4$), pero es global en el que usted realmente tiene que mirar todos los puntos.
Deje $M^4$ ser un colector que tiene el mismo tipo topológico como $\mathbb{R}^4$. Para cada métrica de Riemann $g$$M$, calcular la curvatura seccional. Voy a usar la notación "$sec_g \geq 0$" significa que las curvaturas seccionales de todos los 2-planos en todos los puntos son iguales o superiores a $0$ el (completa) métrico $g$.
Su colector $M^4$ es un exótico $\mathbb{R}^4$ fib no es nunca el caso de que $sec_g\geq 0$ o $sec_g\leq 0$.
Aquí está la idea de la prueba. Si la métrica $g$ en el colector ocurre satisfacer $sec_g \leq 0$, luego por la Cartan-Hadamard teorema, $M^4$ es cubierto por el estándar $\mathbb{R}^4$. Desde $M^4$ es simplemente conectado, esto implica que es diffeomorphic a la norma $\mathbb{R}^4$.
Por otro lado, si la métrica $g$ ocurre satisfacer $sec_g\geq 0$, luego por el Alma Teorema, $M$ es diffeomorphic a la normal paquete de más de algunos compactos conectado submanifold $N$ dentro de él. En particular, la topología de $M^4$ es el de un compacto colector. Pero $M^4$ simplemente se conecta, por lo $N$ también debe ser simplemente conectado. Esto implica $N$ es orientable. Pero luego, ello implica $H_{\text{dim }N}(N)\neq 0$. Pero desde $N$ tiene el homotopy tipo de $M^4$, la única que no sea trivial homología que tiene es en la dimensión $0$. Por lo tanto $N$ tiene dimensión $0$, es decir, $N$ es un punto. Pero el paquete normal de un punto en cualquier colector es diffeomorphic a la norma $\mathbb{R}^n$, mostrando que el $M^4$ es diffeomorphic a la norma $\mathbb{R}^4$.
Por el contrario, la norma métrica Euclidiana en el estándar de la $\mathbb{R}^4$ $sec = 0$
