Evaluar $\sum\limits_{(m,n) \in D,m < n} \frac{1}{n^2 m^2} $ donde $\gcd(m,n)=1$

Question

no tengo ninguna pista sobre cómo evaluar: $$\sum\limits_{(m,n) \in D,m < n} \frac{1}{n^2 m^2} \text{ where }D = \{ (m,n) \in (\mathbb{N}^*)^2 \mid \gcd(m,n) = 1\} $ $

Si alguien es capaz de darme un toque... Gracias de antemano.

Answer 1

Llame a su suma como $S$. Entonces $S= \frac{1}2(\displaystyle\sum_{(m,n)=1}\frac{1}{m^2n^2}-1)$% $ $$2S+1=\displaystyle\sum_{m,n}\displaystyle\sum_{d|(m,n)}\frac{\mu(d)}{m^2n^2}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^4}\displaystyle\sum_{r,s}\frac{1}{r^2s^2}=\frac{\zeta(2)^2}{\zeta(4)}$

Así, $S=\frac{3}{4}$

Answer 2

Hay una inclusión-exclusión aproximación a este. En primer lugar, tenga en cuenta que si $$S_d:=\sum_{m,n=1}^\infty \frac{1}{(dm)^2(dn)^2} = \frac{1}{d^4} \zeta^2(2)$$

A continuación, una suma, a su suma:

$$S:=\sum_{m,n=1}_{(m,n)=1}^\infty \frac{1}{m^2n^2} = \sum_{d=1}^\infty \mu(d) S_d = \zeta(2)^2\sum_{d=1}^\infty \dfrac{\mu(d)}{d^4}=\dfrac{\zeta^2(2)}{\zeta(4)} $$

Su suma es $\frac{S-1}{2}$.

La clave está mostrando que la $S=\sum \mu(d)S_d$.

La respuesta es racional, por cierto, por lo que podría ser un enfoque que es mucho más fácil.

Si se sustituyen los términos con $\dfrac{1}{(mn)^s}$$\mathcal{Re}\; s>1$,$S$$\dfrac{\zeta^2(s)}{\zeta(2s)}$.

La fórmula del producto para $\zeta$ nos da la forma del producto:

$$\prod_p \frac{p^s+1}{p^s-1}$$

Tal vez hay una manera más fácil de ver que la suma es este producto

Más generalmente, si $s,t>1$$\sum_{(m,n)=1} \dfrac{1}{m^sn^t} = \dfrac{\zeta(s)\zeta(t)}{\zeta(s+t)}$. Pero esa ecuación no es simétrica, por lo que no podía utilizar para conseguir que el caso de $m<n$.

Answer 3

Sólo una observación que está lejos de una respuesta.

$$\frac{\pi^2}{6}-1=\sum_{n> 1}\frac{1}{n^2}<\sum_{(m,n):\gcd(m,n)=1,\ m<n}\frac{1}{m^2n^2}\le \left(\sum_{n\ge 1}\frac{1}{n^2}\right)^2=\frac{\pi^4}{36}$$