Ordenamiento de un conjunto curioso

Question

Supongamos que n es un cuadrado perfecto. Fijémonos en el

conjunto de todos los números que es el producto de dos números, no necesariamente distintos, los cuales son al menos n.

Es posible encontrar una expresión para el n-ésimo menor número en este sistema en términos de n

Answer 1

Después de haber escrito algunos python para bombear éstos hacia fuera (ver aquí el código: https://repl.it/CnHE/5), obtener la misma secuencia que se menciona en los comentarios:\begin{matrix} \\ n & n^{th} \text{ term} & n^{th} \text{ term} \\ \hline 1 & 1 & (1+0)^2 \\ 4 & 25 & (4+1)^2 \\ 9 & 121 & (9+2)^2 \\ 16 & 361 & (16+3)^2 \\ 25 & 841 & (25+4)^2 \\ 36 & 1681 & (36+5)^2 \\ 49 & 3025 & (49+6)^2 \\ 64 & 5041 & (64+7)^2 \\ 81 & 7921 & (81+8)^2 \\ 100 & 11881 & (100+9)^2 \\ \end{matriz}

Podemos observar que el término de $n^{th}$ es $$(n+\sqrt{n}-1)^2$ $ por supuesto esto es sólo una observación, no una prueba...

Answer 2

Vamos a organizar los términos en el orden siguiente:

$n^2$

$n(n+1)$

$n(n+2), (n+1)^2$

$n(n+3), (n+1)(n+2)$

$n(n+4), (n+1)(n+3), (n+2)^2$

$n(n+5), (n+1)(n+4), (n+2)(n+3)$

....

Algunos simples observaciones se puede demostrar fácilmente:

1. Los términos son, en orden creciente de izquierda a derecha.

2. Supongamos $n=k^2$. Al $i<k$ tenemos $(n+i)^2 < n(n+2i+1)$, los términos también son, en orden creciente de arriba hacia abajo.

3. El número de términos en cada fila son 1,1;2,2;3,3;4,4;... (observe que el término general de una fila es $(n+i)(n+j)$ donde $i+j$ es fijo.)

4. El término (n+i)(n+j) se encuentra en $(i+j+1)^{th}$fila

5. El plazo $(n+k-1)^2$ encuentra al final de la $(2k-1)^{th}$-fila, por lo tanto, su posición es:

$1+1+2+2+3+3+...+(k-1)+(k-1)+k =n^2$

Así que hemos confirmado la observación de @Carser.