Zona delimitada por curvas polares

Question

Estoy respondiendo a exámenes de ejemplo para mi clase de Cálculo y me llamó la atención por el inciso siguiente.

Set-up de la integral definida, o la suma de las integrales definidas igual al área de la región sobre el eje polar, en el interior de la limaçon $r = 3 + 2 \sin \theta$ y fuera de la lemniscate $r^2 = 32 \cos 2\theta$ dado que las dos curvas se cortan en $(4,\frac{\pi}{6})$.

Al principio, pensé que el área está dada por $$\dfrac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}{[(3 + 2\sin \theta)^2 - (32 \cos 2\theta)] \mathrm{d}\theta}$$, pero sé que el área de la lemniscate es complicado, así que yo he dado a un área más pequeña.

Mi pregunta es esta: ¿Cómo saber los límites de integración para lemniscates? (Sé que los límites de integración para el área de la lemniscate solo es de$-\frac{\pi}{4}$$\frac{\pi}{4}$, pero ¿y para las pequeñas porciones de la curva?)

Yo te agradezco cualquier ayuda. Muchas gracias.

Answer 1

Hubo lemniscate problemas, como temía. Hasta el $\theta=\frac{\pi}{4}$, todo estaba bien. Pero de $\frac{\pi}{4}$ y durante bastante tiempo (hasta $\frac{3\pi}{4}$), $\cos 2\theta$ es negativo, por lo $r^2$ es negativo y no hay ninguna curva. La integral no sabe y no le importa: alegremente "suma" de estos aspectos negativos, dar la respuesta equivocada.

Así que para el limaçon parte, si usted hace las cosas en su estilo, usted tendrá que romper la limaçon integral en dos integrales, $\frac{\pi}{6}$ $\frac{\pi}{4}$y, a continuación,$\frac{3\pi}{4}$$\frac{5\pi}{6}$.

Desde las integrales para el lemniscate y la limaçon son más de intervalos diferentes, no podemos expresar su diferencia como una sola integral.

Lo que yo haría es utilizar la simetría, la tomamos a la derecha la mitad de la región y multiplicar el resultado de la zona por $2$. El limaçon parte de restarse utiliza la integral de$\frac{\pi}{6}$$\frac{\pi}{4}$.

Así que no es de $\frac{1}{2}$ como en su fórmula, pero en última instancia se multiplica por $2$, por lo que nuestra zona es $$\int_{\pi/6}^{\pi/2}(3+2\sin \theta)^2\,d\theta-\int_{\pi/6}^{\pi/4}32\cos 2\theta\,d\theta.$$

Más agradable, menos signos menos de que preocuparse!