Un mapa de casi todas partes discontinuas no admiten una medida invariante

Question

Vamos a considerar un mapa de $T: X \rightarrow X$, de modo que es discontinua en casi todas partes (en particular, vamos a $X = \mathbb{R}$, e $T = 1_{\mathbb{Q}}$ -- función de Dirichlet). Es cierto que $T$ no admitir un invariante de la medida (por ejemplo,$\lambda(X) = \lambda(T^{-1}(X))$)?

El problema original es de encontrar un mapa de $3$-dimensiones de la pelota a sí mismo con la propiedad dada. Bogolybov-Krylov teorema dice que para cada espacio compacto $X$, y para cada continuas $T$ tal medida no existe. Así, es razonable buscar un "malo" de los mapas, como considerado antes.

Answer 1

En resumen: Incluso si su función es discontinuo en casi todas partes, todavía puede poseer un invariante de la medida.

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Primero de todo, creo que en el fin de plantear su pregunta correctamente se necesita un espacio medible $(X,\Sigma)$, entonces uno puede preguntarse si una medida $\lambda : \Sigma \to [0,\infty] $ existe con $$ \lambda(A) = \lambda(T^{-1}(A)) $$ para todos los $A \in \Sigma$.

Para el caso de que uno no tiene requisitos en $X$ $\Sigma$ no es pre-definida, uno puede simplemente establecer $\Sigma := \{ \emptyset, X\}$ y definir la medida $\lambda(\emptyset):=0$, $\lambda(X):=1$, este sería invariante para cualquier función de $T : X \to X$.

Para el caso de que $X=\mathbb{R}$ es dada con un $\sigma$-álgebra $\Sigma$ tal que $T(x) = 1_{\mathbb{Q}}(x)$ es medible, uno puede simplemente definir la medida de Dirac

$$ \lambda(A) = \begin{cases} 1,& \text{if }1 \in A, \\ 0,& \text{else}.\end{cases} $$

A ver de que esta medida es invariante conforme a $T$, ten en cuenta que $$ T^{-1}(A) = \begin{cases} \mathbb{Q}, & 1 \in A, \, 0 \notin A, \\ \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}, & 1 \notin A, \, 0 \in A, \\ \mathbb{R}, & 1 \in A, \, 0 \in A, \\ \emptyset, & 1 \notin A, \, 0 \notin A, \\ \end{casos} $$ y por lo tanto

$$ \lambda(T^{-1}(A)) = \begin{cases} 1, & 1 \in A, \, 0 \notin A, \\ 0, & 1 \notin A, \, 0 \in A, \\ 1, & 1 \in A, \, 0 \in A, \\ 0, & 1 \notin A, \, 0 \notin A, \\ \end{casos} = \begin{cases} 1,& \text{if }1 \in A, \\ 0,& \text{else}.\end{casos} = \lambda(A). $$

La solución es muy intuitivo: Si usted empieza en 1, entonces se quedan ahí.

Answer 2

Dado un mapa continuo $T: X \to X$ donde $X$ es compacto y Hausdorff sin puntos aislados, y una contables subconjunto denso $S$$X$, usted puede hacer $T$ continua de la nada por el cambio de $T$$S$. Divida $S$ en dos subconjuntos disjuntos $S_1, S_2$ que cada son densos en $X$. Elija dos puntos distintos $p, q \in X \backslash S$, y definir
$$ \widetilde{T}(x) = \cases{ T(x)& if $x \noen S$\cr p & if $x \in S_1$\cr q & if $x \in S_2$}$$ Cualquier nonatomic medida que es invariante para $T$ todavía es invariante para $\widetilde{T}$, debido a $\widetilde{T}^{-1}(A)$ $T^{-1}(A)$ diferir en más de un contable establecido.

Si $T$ tiene un invariante de medida $\lambda$ que no es nonatomic, usted puede asegurarse de que todavía es invariante para $\widetilde{T}$ por la elección de $S$, $p$, $q$ así que $\lambda(S \cup \{p,q\}) = 0$.