Prueba de la fórmula del valor absoluto de lógica formal

Question

He estado tratando probar esto durante mucho tiempo, cualquiera que esté dispuesto a ofrecer ayuda o conseguirme apuntado en la dirección correcta?

$(x>0 \implies z = x) \wedge (x < 0 \implies z = -x) \implies z \ge 0$

Answer 1

Sugerencia: ¿Qué pasa si x = 0? ¿Dice algo sobre z?

Answer 2

Tal como indica la respuesta de Robert, la declaración es falsa. Sin embargo, cambiando el primer $>$ $\geq$ da una afirmación verdadera que utilizaría una prueba por la contradicción, que es asumir $z < 0$ y $(x \geq 0 \implies z = x) \wedge (x < 0 \implies z = -x)$ y derivar una contradicción. Esto puede hacerse como sigue:

$(z < 0) \wedge ((x>0 \implies z = x) \wedge (x < 0 \implies z = -x))$ $\implies (((x \geq 0 \implies z = x) \wedge z < 0) \wedge ((x < 0 \implies z = -x) \wedge z < 0))$ $\implies ((x \geq 0 \implies x < 0) \wedge (x < 0 \implies -x < 0))$ $\implies ((F \wedge (x < 0 \implies -x < 0)) \vee ((x \geq 0 \implies x < 0) \wedge F))$ $\implies (F \vee F)$ $\implies F$ $\therefore \neg((z < 0) \wedge ((x \geq 0 \implies z = x) \wedge (x < 0 \implies z = -x)))$ $\therefore (x \geq 0 \implies z = x) \wedge (x < 0 \implies z = -x) \implies z \ge 0$