¿Es la prueba habitual de $\lim_{x\rightarrow 0}\frac {\sin(x)}{x} = 1$ una prueba honesta?

Question

En un lote de libros de texto de Cálculo, una prueba de que $\lim_{x\rightarrow 0}\frac {\sin(x)}{x} = 1$ es la siguiente:

Comparando las áreas de los triángulos $ABC, ABD$ y el sector circular, se obtiene: $$ \sin(x)<x<\tan(x) $$ de lo que tengo: $$ \cos(x)<\frac {\sin(x)}{x}<1 $$ a partir de la cual immidiately sigue que $\lim_{x\rightarrow 0}\frac {\sin(x)}{x} = 1$

No creo que este tipo de prueba no es honesto. Quiero decir, en la prueba utilizamos el hecho de que el área del sector de la es $\frac12xr^2$. Esta fórmula proviene de la integración (un "infinito" la suma de "infinitesimal" triángulos"). Así, grosso modo, de alguna manera nos implícitamente el uso que la longitud de "infinitesimal" de acordes $BC$ es igual a la longitud de "infinitesimal" arco $rx$, que es equivalente a que $\lim_{x\rightarrow 0}\frac {\sin(x)}{x} = 1$.

¿Me olvido de algo?

Answer 1

El deshonesto parte es tal vez sólo en descuidar la pregunta: ¿Qué es$x$, de todos modos?

"El tamaño del ángulo" no es nada que realmente puede ser manejado. "Longitud del arco" es un poco problemático, porque uno tiene una inmediata definición de la longitud de los segmentos de línea. Pero podemos introducir la noción de "longitud de una curva" por aproximación con polilíneas y la noción de "zona de una arbitrariedad de la figura" a través de (aproximado) agotamiento con triángulos. Con lo que los antiguos Griegos sabían esp., sin cálculo), se puede argumentar que el área del sector puede ser agotado mejor y mejor precisión arbitraria, mientras que al mismo tiempo aproximar el arco con la mejor y mejor polilíneas, y que el cociente de área de aproximación por la longitud de arco aproximación pone arbitrariamente cerca de la radio (porque esos pequeños triángulos alturas enfoque de la radio). En este sentido tenemos la supuesta desigualdad entre las áreas.

Answer 2

Es perfectamente honesto prueba, sino que se basa en algunos supuestos acerca de las áreas delimitadas por curvas planas y las definiciones de las funciones trigonométricas. La principal suposición es que un sector de un círculo tiene un área de. La prueba de esta hipótesis requiere de análisis/cálculo, pero no requiere el límite de $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$. Una vez que esta suposición es establecido, el siguiente paso es definir el número de $\pi$ como área de unidad de círculo (círculo de radio $1$).

Luego consideraremos la misma figura dada en la pregunta. Necesitamos definir una adecuada medición de los ángulos. Esto se puede hacer de muchas maneras, y una de las maneras de hacerlo es definir la medida de $\angle CAB$ como dos veces el área del sector de la $CAB$. Tenga en cuenta que para que esta definición de trabajo es esencial que el radio del sector de la es $1$ (que es el caso aquí).

Además se definen las funciones de $\sin x,\cos x$, de la siguiente manera. Deje $A$ ser el origen de los ejes de coordenadas y $AB$ representan positivos $x$-eje. También vamos a la medida de $\angle CAB$ $x$ (de modo que el área del sector de la $CAB$$x/2$). A continuación, se definen las coordenadas de punto de $C$$(\cos x,\sin x)$.

Ahora que conocemos estos supuestos, la prueba presentada en la pregunta es válida y honesta. Este es uno de los más fáciles de rutas para una adecuada teoría de las funciones trigonométricas. El verdadero reto, sin embargo, es para mostrar que un sector de un círculo tiene un área.

Answer 3

El % de área $\pi r^2 x$no requiere cálculo. Algo equivalente a esto es probablemente en Euclid.

Que ese argumento es "deshonesto" (o más caritativamente, anacrónico) está en los libros de texto que sólo mucho más tarde rigurosamente definir las funciones trigonométricas, utilizando integrales o derivados.

Answer 4

Nota de la geometría de observación se dio, $\cos(x)<\frac{\sin(x)}{x}<1$ es verdadera para todos los valores de $x$ entre $0$$\pi/2$, con este triple desigualdad también la celebración de los valores de $x$ entre $-\pi/2$ $0$ (por qué?), para que no se acaba de celebrar "infinitesimals," si eso es lo que tu preocupación aquí es. Tomando de la mano izquierda y la mano derecha de los límites a cero, entonces, los rendimientos de la $\lim_{x\to0}\cos(x)=1$ $\lim_{x\to0}1=1$ para ambos extremos de la desigualdad, ya que ambas funciones son continuas en a $x=0$.

Por lo tanto, $\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}$ existe y es igual a 1 por el Teorema del Sandwich. Varberg del Cálculo es un ejemplo de un elemental cálculo de texto que utiliza esta útil el teorema de la pronta solución de este problema.