Puede alguien explicarme la idea que hay detrás de la corrección de continuidad y cuándo es necesario sumar o restar $\dfrac{1}{2}$ del número deseado (cómo saber si hay que sumar o restar), ¿cómo saber cuándo hay que utilizar la corrección de continuidad?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La corrección de continuidad aparece con más frecuencia cuando utilizamos la aproximación normal a la binomial. A veces aparece cuando estamos aproximando una distribución de Poisson con grandes $\lambda$ por una normal.
Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria de distribución binomial que representa el número de aciertos en $n$ ensayos independientes, donde la probabilidad de éxito en cada ensayo es $p$ . Dejemos que $Y$ sea una variable aleatoria normal con la misma media y la misma varianza que $X$ .
Supongamos que $npq$ no es demasiado pequeño. Entonces, si $k$ es un entero , $\Pr(X\le k)$ está razonablemente bien aproximado por $\Pr(Y\le k)$ . Por lo general, es mejor aproximado por $\Pr(Y\le k+\frac{1}{2})$ . La diferencia puede ser significativa cuando $n$ no es grande. Cuando $np(1-p)$ es grande, digamos que más grande que $100$ La corrección de la continuidad tiene poca importancia en la práctica.
La corrección de la continuidad es menos importante que antes. Ya que con el software moderno, podemos calcular $\Pr(X\le k)$ esencialmente, exactamente.
Es fácil confundirse al utilizar la corrección de continuidad. En concreto, surge la pregunta que has planteado: ¿cuándo añadir $\frac{1}{2}$ ¿Y cuándo restamos? Me ocupo de ello recordando sólo una regla. Para repetir,
Regla: Si $k$ es un número entero, entonces $\Pr(X\le k)\approx \Pr(Y\le k+\frac{1}{2})$ , donde $Y$ es una normal con la misma media y varianza que $X$ .
Veamos un par de ejemplos. Veamos $X$ tienen una distribución binomial. Aproxima la probabilidad de que $X\lt k$ , donde $k$ es un número entero. Este no lo hace se parece bastante a nuestra Regla. Tenga en cuenta que tenemos $\lt k$ no $\le k$ . Pero $X\lt k$ si y sólo si $X\le k-1$ . Ahora estamos en la forma correcta. La respuesta es, aproximadamente, $\Pr(Y\le (k-1+\frac{1}{2}$ , donde $Y$ es el normal apropiado. Esto es $\Pr(Y\le k-\frac{1}{2}$ Así que, en cierto sentido, nos hemos extendido. Pero todo se deriva de la Regla única, en la que siempre añadimos, pero prestando mucha atención a la diferencia entre $\lt$ y $\le$ .
¿Cuál es la probabilidad de que $X\gt k$ ? Esto es $1-\Pr(X\le k)$ . De este modo, obtenemos que el resultado es aproximadamente $1-\Pr(Y\le k+\frac{1}{2})$ .
Un ejemplo numérico: Lanza una moneda justa $100$ tiempos. Aproxima la probabilidad de que el número de cabezas sea $\le 55$ .
Trabajando directamente con el binomio, y el software, obtengo esto es, a $6$ cifras, $0.864373$ . Esa es la respuesta "correcta".
Utilizando $\Pr(Y\le 55)$ , donde $Y$ es la media normal $50$ desviación estándar $5$ , sin corrección de continuidad, obtengo la aproximación $0.8413$ .
Utilizando la corrección de continuidad, obtengo la aproximación $0.8643$ . Realmente debería hacer otros ejemplos, la corrección de la continuidad es también ¡bien aquí!
